Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do elixo us região plana delimitada pela curva y=9 xraizx^3+9, pelo eixo x e pela reta. x=3.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que a gente forma ao girar a área limitada pela curva $ y = \frac{9x}{\sqrt{x^{3}+9}} $, pelo eixo $ x $ e pela reta $ x = 3 $ em volta do próprio eixo $ x $. Aqui, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como estamos girando em torno do eixo $ x $ e a reta que limita é $ x = 3 $, nosso intervalo vai de $ x = 0 $ até $ x = 3 $.

Passo 3

No método dos discos, o volume $ V $ é calculado integrando a área dos discos infinitamente finos ao longo do intervalo. A fórmula geral é:
V
Aqui, $ f(x) = \frac{9x}{\sqrt{x^{3}+9}} $, $ a = 0 $ e $ b = 3 $.

Passo 4

Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula:
f(x)
Simplificando a expressão dentro da integral:
V = pi integral0^3 ( 9xraizx^3+9 )^2 dx
Então, a integral fica:
( 9xraizx^3+9 )^2 = 81x^2x^3 + 9

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Deixe $ u = x^{3} + 9 $, então a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u = x^3 + 9
Substituindo na integral:
u
A integral de $ \frac{1}{u} du $ é $ \ln|u| $, então:
x
Voltando para $ x $:
du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = du3

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores nos limites:
Para $ x = 3 $:
x = 3
Para $ x = 0 $:
27pi ln(3^3 + 9) = 27pi ln(27 + 9) = 27pi ln(36)
Subtraindo:
x = 0

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ 27\pi \ln(4) $ unidades cúbicas.

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