Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do elixo us região plana delimitada pela curva
, pelo eixo
e pela reta.
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que a gente forma ao girar a área limitada pela curva $ y = \frac{9x}{\sqrt{x^{3}+9}} $, pelo eixo $ x $ e pela reta $ x = 3 $ em volta do próprio eixo $ x $. Aqui, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como estamos girando em torno do eixo $ x $ e a reta que limita é $ x = 3 $, nosso intervalo vai de $ x = 0 $ até $ x = 3 $.
Passo 3
No método dos discos, o volume $ V $ é calculado integrando a área dos discos infinitamente finos ao longo do intervalo. A fórmula geral é:
Aqui, $ f(x) = \frac{9x}{\sqrt{x^{3}+9}} $, $ a = 0 $ e $ b = 3 $.
Passo 4
Vamos substituir $ f(x) $ na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Deixe $ u = x^{3} + 9 $, então a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Substituindo na integral:
A integral de $ \frac{1}{u} du $ é $ \ln|u| $, então:
Voltando para $ x $:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores nos limites:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 0 $:
Subtraindo:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ 27\pi \ln(4) $ unidades cúbicas.