Calcule o volume do sólido que está situado acima de
e que é simultaneamente interior à esfera
e ao hiperbolóide de uma folha
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região com z≥0 que satisfaça simultaneamente x²+y²+z²≤9 (esfera de raio 3) e x²+y²–z²≤1 (hiperbolóide de uma folha). Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,θ,z) porque as superfícies são axissimétricas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
A esfera vira
e o hiperbolóide vira
Logo em cada nível z a região radial é
Passo 3
Para saber onde cada superfície domina, igualamos
que dá z²=4, logo z=2. A região z vai de 0 até 3 (topo da esfera), e dividimos em dois subintervalos para z: de 0 a 2 (o hiperbolóide é mais restrito) e de 2 a 3 (a esfera é mais restrita).
Passo 4
Montamos o volume como soma de dois integrais:
$$V=2π\int_{z=0}{2}\int_{r=0}{\sqrt{1+z²}}r,dr,dz
+2π\int_{z=2}{3}\int_{r=0}{\sqrt{9–z²}}r,dr,dz.$$
Passo 5
Calculamos o primeiro termo:
logo
Passo 6
O segundo termo é
logo
Passo 7
Somando os dois pedaços temos