Calcule o volume do sólido que está situado acima de z=0 e que é simultaneamente interior à esfera x^2+y^2+z^2=9 e ao hiperbolóide de uma folha x^2+y^2-z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região com z≥0 que satisfaça simultaneamente x²+y²+z²≤9 (esfera de raio 3) e x²+y²–z²≤1 (hiperbolóide de uma folha). Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,θ,z) porque as superfícies são axissimétricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=rcosθ, y=rsinθ, z=z
A esfera vira
r²+z²≤9²²
e o hiperbolóide vira
r²z²≤1²²
Logo em cada nível z a região radial é
0≤r≤minl(raiz1+z²,,raiz9z²r)²²

Passo 3

Para saber onde cada superfície domina, igualamos
1+z²=9z²²²
que dá z²=4, logo z=2. A região z vai de 0 até 3 (topo da esfera), e dividimos em dois subintervalos para z: de 0 a 2 (o hiperbolóide é mais restrito) e de 2 a 3 (a esfera é mais restrita).

Passo 4

Montamos o volume como soma de dois integrais:
$$V=2π\int_{z=0}{2}\int_{r=0}{\sqrt{1+z²}}r,dr,dz
+2π\int_{z=2}{3}\int_{r=0}{\sqrt{9–z²}}r,dr,dz.$$

Passo 5

Calculamos o primeiro termo:
integralr=0^raiz1+z²r,dr=tfrac12(1+z²),²²
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V1=2πintegral0^2tfrac12(1+z²)dz=πintegral0^2(1+z²)dz=πl[z+tfracz³3r]0^2=πl(2+tfrac83r)=tfrac14π3²²³

Passo 6

O segundo termo é
integralr=0^raiz9z²r,dr=tfrac12(9z²),²²
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V2=2πintegral2^3tfrac12(9z²)dz=πintegral2^3(9z²)dz=πl[9z-tfracz³3r]2^3=πl((27-9)-(18-tfrac83)r)=tfrac8π3²²³

Passo 7

Somando os dois pedaços temos
V=V1+V2=tfrac14π3+tfrac8π3=tfrac22π3

Resposta

22pi3

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