Considere o sólido situado simultaneamente no interior das superfícies
e
, sabendo que sua função densidade é
. Escreva, em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, as integrais que permitem calcular a massa do sólido.
Passo 1
O exercício pede para calcular a massa de um sólido cuja densidade é
, e que está simultaneamente dentro da esfera
e dentro da superfície
. Vamos precisar escrever a integral tripla
nas três coordenadas.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, projetamos o sólido no plano
. A projeção é o disco
. Para cada
,
varia de baixo da esfera até cima da “pirâmide curva”:
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas
, temos
e
. O sólido se descreve por
,
e
Logo a massa é
Passo 4
Em coordenadas esféricas
com
,
,
e
, as duas superfícies viram
Elas se cruzam em
. Então dividimos em dois braços de integral:
Passo 5
Para
, vale
Para , vale
Para
Passo 6
A massa então é
Resposta
Integral em coordenadas cartesianas:
Integral em coordenadas cilíndricas:
Integral em coordenadas esféricas (com
):