Considere o sólido situado simultaneamente no interior das superfícies x^2+ y^2+z^2=4 z e z=1+12 raizx^2+y^2, sabendo que sua função densidade é f(x, y, z)= (x^2+y^2) z^2cos (x^2+y^2+z^2). Escreva, em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, as integrais que permitem calcular a massa do sólido.

Passo 1

O exercício pede para calcular a massa de um sólido cuja densidade é f(x,y,z)=(x^2+y^2)z^2cos(x^2+y^2+z^2), e que está simultaneamente dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4z e dentro da superfície z=1+tfrac12raizx^2+y^2. Vamos precisar escrever a integral tripla integral triplaR f,dV nas três coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, projetamos o sólido no plano xy. A projeção é o disco D:,x^2+y^2<=4. Para cada (x,y)in D, z varia de baixo da esfera até cima da “pirâmide curva”:

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), temos x^2+y^2=r^2 e dV=r,dr,dtheta,dz. O sólido se descreve por 0<=theta<=2pi, 0<= r<=2 e
2-raiz4-r^2<= z<=1+tfrac12r
Logo a massa é

Passo 4

Em coordenadas esféricas (rho,phi,theta) com x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta, as duas superfícies viram
rho=4cosphi (esfera) e rho=1cosphi-tfrac12sinphi (a outra)
Elas se cruzam em phi=pi/4. Então dividimos em dois braços de integral:

Passo 5

Para 0<=phi<=pi/4, vale rho<=1/(cosphi-tfrac12sinphi)
Para pi/4<=phi<=pi/2, vale rho<=4cosphi

Passo 6

A massa então é
integral0^2pi gl( integral0^pi/4 integral0^1cosphi-tfrac12sinphi (rhosinphi)^2,(rhocosphi)^2cos(rho^2) ;rho^2sinphi,drho,dphi +! integralpi/4^pi/2 integral0^4cosphi (rhosinphi)^2,(rhocosphi)^2cos(rho^2) ;rho^2sinphi,drho,dphi gr) dtheta

Resposta

Integral em coordenadas cartesianas:
Integral em coordenadas cilíndricas:
Integral em coordenadas esféricas (com integral duplax^2+y^2<=4nintegral2-raiz4-(x^2+y^2)^1+tfrac12raizx^2+y^2 (x^2+y^2),z^2cos(x^2+y^2+z^2),dz,dx,dy ):

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