Considere o sólido delimitado inferiormente por 2 z=raizx^2+y^2 e superiormente por z=6-raizx^2+y^2. Escreva a integral que permite calcular o volume deste sólido em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido que, em coordenadas cartesianas
, está limitado abaixo por
2z=raizx^2+y^2
ou seja z=tfrac12raizx^2+y^2, e acima por
z=6-raizx^2+y^2
Queremos escrever as três integrais de volume (cartesiano, cilíndrico e esférico).

Passo 2

Para achar a projeção no plano xy (domínio de x,y), igualamos as duas superfícies:
tfrac12raizx^2+y^2=6-raizx^2+y^2
Colocando r=raizx^2+y^2 e resolvendo:
r/2=6-r Longrightarrow r=4
Logo, a projeção D é o disco x^2+y^2<=16.

Passo 3

Em coordenadas cartesianas o volume é dado por
V=integralx=-4^4integraly=-raiz16-x^2^raiz16-x^2integralz=tfrac12raizx^2+y^2^6-raizx^2+y^2dz,dy,dx

Passo 4

Em coordenadas cilíndricas usamos x=rcostheta,;y=rsintheta e dV=r,dz,dr,dtheta. As superfícies viram z=r/2 e z=6-r, e r vai de 0 a 4, theta de 0 a 2pi:
V=integraltheta=0^2piintegralr=0^4integralz= r/2^6-rr,dz,dr,dtheta

Passo 5

Em coordenadas esféricas fazemos (x=\rho\sin\phi\cos\theta",

Passo 6

y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi e dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. A condição
$$
2z=\sqrt{x2+y2}$$
vira
2z=raizx^2+y^2
e a face de cima 2rhocosphi=rhosinphiLongrightarrowphi=arctan2,
z+raizx^2+y^2=6
O ângulo rho(cosphi+sinphi)=6Longrightarrowrho=6cosphi+sinphi varia de 0 a phi e arctan2 de 0 a theta:
2pi

Resposta

As integrais de volume do sólido são:
  1. Coordenadas cartesianas:
V=integralx=-4^4integraly=-raiz16-x^2^raiz16-x^2integralz=tfrac12raizx^2+y^2^6-raizx^2+y^2dz,dy,dx
  1. Coordenadas cilíndricas:
V=integraltheta=0^2piintegralr=0^4integralz=r/2^6-rr,dz,dr,dtheta
  1. Coordenadas esféricas:
V=integraltheta=0^2piintegralphi=0^arctan2integralrho=0^tfrac6cosphi+sinphirho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

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