Considere o sólido delimitado inferiormente por
e superiormente por
. Escreva a integral que permite calcular o volume deste sólido em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido que, em coordenadas cartesianas
, está limitado abaixo por
, está limitado abaixo por
ou seja
, e acima por
Queremos escrever as três integrais de volume (cartesiano, cilíndrico e esférico).
Passo 2
Para achar a projeção no plano
(domínio de
), igualamos as duas superfícies:
Colocando
e resolvendo:
Logo, a projeção
é o disco
.
Passo 3
Em coordenadas cartesianas o volume é dado por
Passo 4
Em coordenadas cilíndricas usamos
e
. As superfícies viram
e
, e
vai de 0 a 4,
de 0 a
:
Passo 5
Em coordenadas esféricas fazemos (x=\rho\sin\phi\cos\theta",
Passo 6
$$
2z=\sqrt{x2+y2}$$
vira
e a face de cima
dá
O ângulo
varia de 0 a
e
de 0 a
:
Resposta
As integrais de volume do sólido são:
- Coordenadas cartesianas:
- Coordenadas cilíndricas:
- Coordenadas esféricas: