CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 5.2 (Veja Soluções de Problemas Selecionados de Ordem Ímpar ao final do liuro.) Nos Problemas 1-16, calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
integralC(x^2-i y^3) d z, onde C é a metade inferior da circunferência |z|=1, de z=-1 a z=1.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de linha integralC (x^2 - i y^3),dz, onde o contorno C é a semicircunferência inferior do círculo |z|=1, indo de z=-1 até z=1. O conteúdo envolve parametrização de curva no plano complexo e manipulação de exponenciais.

Passo 2

Vamos parametrizar C por z(t)=e^it,; t variando de t=pi (que dá z=-1) até t=0 (que dá z=1). Nesse parâmetro temos:
x=\cos t,
y=\sin t,
dz=i e^{it} dt.

Passo 3

Substituindo na integral obtemos
integralC (x^2 - i y^3),dz = integralt=pi^0 (cos^2 t - isin^3 t),i e^it,dt
Para facilitar, invertendo os limites:
= -integral0^pi (cos^2 t - isin^3 t),i e^it,dt = integral0^pil[-icos^2 t -sin^3 tr]e^it,dt

Passo 4

Agora separamos em quatro integrais usando as identidades cos^2t=(1+cos2t)/2 e sin^3t=(3sin t -sin3t)/4. Isso dá quatro termos:
  1. -tfraci2integral0^pi e^itdt,
  2. -tfraci2integral0^pi cos2t,e^itdt,
  3. -tfrac34integral0^pi sin t,e^itdt,
  4. tfrac14integral0^pi sin3t,e^itdt.

Passo 5

Calculando cada um via exponenciais complexas:
  1. resulta 1.
  2. resulta -1/3.
  3. resulta -3ipi/8.
  4. resulta 0.

Passo 6

Somando todos os termos achamos
1 + l(-tfrac13r) + l(-tfrac3ipi8r) + 0 = tfrac23 - tfrac3ipi8

Resposta

23 - 3ipi8

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