CONJUNTO DE EXERCÍCIOS 5.2 (Veja Soluções de Problemas Selecionados de Ordem Ímpar ao final do liuro.) Nos Problemas 1-16, calcule a integral dada ao longo do contorno especificado.
, onde
é a metade inferior da circunferência
, de
a
.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral de linha
, onde o contorno
é a semicircunferência inferior do círculo
, indo de
até
. O conteúdo envolve parametrização de curva no plano complexo e manipulação de exponenciais.
Passo 2
Vamos parametrizar
por
,;
variando de
(que dá
) até
(que dá
). Nesse parâmetro temos:
x=\cos t,
y=\sin t,
dz=i e^{it} dt.
x=\cos t,
y=\sin t,
dz=i e^{it} dt.
Passo 3
Substituindo na integral obtemos
Para facilitar, invertendo os limites:
Passo 4
Agora separamos em quatro integrais usando as identidades
e
. Isso dá quatro termos:
-
, -
, -
, -
.
Passo 5
Calculando cada um via exponenciais complexas:
- resulta
. - resulta
. - resulta
. - resulta
.
Passo 6
Somando todos os termos achamos