Calcule o volume do sólido usando integração tripla.
j) Sólido interseç̧ão dos conjuntos x^2+y^2 <= 1 e x^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Estamos lidando com o volume do sólido definido pela interseção dos cilindros x^2+y^2<= 1 e x^2+z^2<= 1. O conteúdo é integração tripla e podemos explorar a simetria do sólido para montar a integral de forma simples.

Passo 2

Para descrever a região R, percebemos que, para cada xin[-1,1], as coordenadas y e z variam entre -raiz1-x^2 e raiz1-x^2. Assim, podemos escrever
V = integral triplaR 1,dV = integralx=-1^1 integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integralz=-raiz1-x^2^raiz1-x^2 1,dz,dy,dx

Passo 3

Primeiro, integramos em y e z. Como cada uma varia de -raiz1-x^2 a raiz1-x^2, o volume da seção transversal em x é
integraly=-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integralz=-raiz1-x^2^raiz1-x^2 1,dz,dy = l(2raiz1-x^2r)^2 = 4,(1-x^2)

Passo 4

Por fim, integramos em x de -1 a 1:
V = integral-1^1 4,(1-x^2),dx = 4l[integral-1^11,dx - integral-1^1x^2,dxr] = 4l[2 - tfrac23r] = tfrac163

Resposta

163

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