Determine o valor solicitado aplicando derivadas implícitas.
Se xy=10, com d xd t=-5. encontre d yd t

Passo 1

O enunciado diz que x/y=10 e queremos encontrar dy/dt sabendo que dx/dt=-5. O conteúdo aqui é derivação implícita em relação ao tempo e vamos precisar usar a regra do quociente de derivadas.

Passo 2

Diferenciando implicitamente xy=10 em relação a t, o lado direito é constante, então sua derivada é zero. No lado esquerdo, aplicamos a regra do quociente: se u=x e v=y, então
ddtgl(xygr)=y,dxdt-x,dydty^2
Como essa derivada é zero, temos
Multiplicando ambos os lados por y^2 e isolando dy/dt, obtemos
$$
y,\frac{dx}{dt}-x,\frac{dy}{dt}=0
\quad\Longrightarrow\quad
x,\frac{dy}{dt}=y,\frac{dx}{dt}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dy}{dt}=\frac{y}{x},\frac{dx}{dt}.
$$

Passo 3

Da relação original x/y=10 segue y/x=1/10. Substituindo dx/dt=-5 nessa expressão, chega-se a
dydt=110times(-5)=-12

Resposta

-\nfrac{1}{2}

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