Determine o valor solicitado aplicando derivadas implícitas.
Se
. encontre
Se
Passo 1
O enunciado diz que
e queremos encontrar
sabendo que
. O conteúdo aqui é derivação implícita em relação ao tempo e vamos precisar usar a regra do quociente de derivadas.
Passo 2
Diferenciando implicitamente
em relação a
, o lado direito é constante, então sua derivada é zero. No lado esquerdo, aplicamos a regra do quociente: se
e
, então
Como essa derivada é zero, temos
Multiplicando ambos os lados por
$$
y,\frac{dx}{dt}-x,\frac{dy}{dt}=0
\quad\Longrightarrow\quad
x,\frac{dy}{dt}=y,\frac{dx}{dt}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dy}{dt}=\frac{y}{x},\frac{dx}{dt}.
\quad\Longrightarrow\quad
x,\frac{dy}{dt}=y,\frac{dx}{dt}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{dy}{dt}=\frac{y}{x},\frac{dx}{dt}.
$$
Passo 3
Da relação original
segue
. Substituindo
nessa expressão, chega-se a
Resposta
-\nfrac{1}{2}