Derive a função.
18. g(t)=\ln \frac{t\left(t^{2}+1\right)^{4}}{\sqrt[3]{2 t-1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
g(t)=\ln\frac{t\bigl(t^{2}+1\bigr)^{4}}{\sqrt[3]{2t-1}}.
Aqui usamos propriedades de logaritmo, a derivada de \ln u e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, usamos as propriedades de logaritmo para expandir g(t):
g(t)=\ln t + \ln\bigl(t^{2}+1\bigr)^{4} \;-\;\ln\bigl((2t-1)^{1/3}\bigr).
Aplicando \ln(a^{k})=k\ln a, fica
g(t)=\ln t + 4\,\ln\bigl(t^{2}+1\bigr) \;-\;\frac{1}{3}\,\ln\bigl(2t-1\bigr).

Passo 3

Agora derivamos termo a termo:
  1. Para \ln t,
\frac{d}{dt}\ln t = \frac{1}{t}.
  1. Para 4\ln\bigl(t^{2}+1\bigr), aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl[4\ln(t^{2}+1)\bigr] =4\cdot\frac{1}{t^{2}+1}\cdot\frac{d}{dt}(t^{2}+1) =4\cdot\frac{1}{t^{2}+1}\cdot2t =\frac{8t}{t^{2}+1}.
  1. Para -\tfrac{1}{3}\ln(2t-1), novamente regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\Bigl[-\tfrac{1}{3}\ln(2t-1)\Bigr] =-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2t-1}\cdot\frac{d}{dt}(2t-1) =-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2t-1}\cdot2 =-\frac{2}{3\,(2t-1)}.

Passo 4

Somando as três derivadas, obtemos
g'(t) =\frac{1}{t} +\frac{8t}{t^{2}+1} -\frac{2}{3\,(2t-1)}.

Resposta

g'(t) =\frac{1}{t} +\frac{8t}{t^{2}+1} -\frac{2}{3\,(2t-1)}.

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