Questão 1 ( 2,0 pontos). Os dois itens abaixo são independentes. Resolva-os:
Calcule a derivada de f(x)=\sqrt[3]{8 x^{2}+3 x^{4}} \operatorname{sen}(\sqrt[3]{x}), para x \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{8x^{2}+3x^{4}}\;\operatorname{sen}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr),
para x\neq0.
Aqui vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevendo em potências, seja
u(x)=(8x^{2}+3x^{4})^{\tfrac13}, \quad v(x)=\sin\bigl(x^{\tfrac13}\bigr),
de modo que f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 4

Calculamos u'(x) e v'(x) por regra da cadeia:
Para u(x)=(8x^{2}+3x^{4})^{\tfrac13},
u'(x) =\tfrac13(8x^{2}+3x^{4})^{-\tfrac23}\cdot(16x+12x^{3}) =\frac{4x(4+3x^{2})}{3}\,(8x^{2}+3x^{4})^{-\tfrac23}.
Para v(x)=\sin\bigl(x^{\tfrac13}\bigr),
v'(x) =\cos\bigl(x^{\tfrac13}\bigr)\cdot\tfrac13\,x^{-\tfrac23} =\frac{1}{3}\,x^{-\tfrac23}\,\cos\bigl(x^{\tfrac13}\bigr).

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv', obtemos
f'(x) =\frac{4x(4+3x^{2})}{3}\,(8x^{2}+3x^{4})^{-\tfrac23}\, \sin\bigl(x^{\tfrac13}\bigr) +(8x^{2}+3x^{4})^{\tfrac13}\, \frac{1}{3}\,x^{-\tfrac23}\, \cos\bigl(x^{\tfrac13}\bigr).

Passo 6

Colocando fator comum \tfrac{1}{3}(8x^{2}+3x^{4})^{-\tfrac23},
f'(x) =\frac{1}{3}\,(8x^{2}+3x^{4})^{-\tfrac23} \Bigl[ 4x(4+3x^{2})\,\sin\bigl(x^{\tfrac13}\bigr) +(8x^{2}+3x^{4})\,x^{-\tfrac23}\,\cos\bigl(x^{\tfrac13}\bigr) \Bigr].

Resposta

f'(x) =\frac{1}{3}\,(8x^{2}+3x^{4})^{-\tfrac23} \Bigl[ 4x(4+3x^{2})\,\sin\bigl(x^{\tfrac13}\bigr) +(8x^{2}+3x^{4})\,x^{-\tfrac23}\,\cos\bigl(x^{\tfrac13}\bigr) \Bigr].

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