Calcule a área da região plana R abaixo.
R é a região no 1o. quadrante limitada pelas parabolas y=x^2, e y=2-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos tirar essa dúvida juntos! O exercício pede para calcular a área da região $ \mathbf{R} $ no primeiro quadrante, limitada pelas parábolas $ y = x^{2} $ e $ y = 2 - x^{2} $. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas parábolas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
x^2 = 2 - x^2

Passo 3

Resolvendo a equação:
x^2 + x^2 = 2 2x^2 = 2 x^2 = 1 x = pm1
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas $ x = 1 $.

Passo 4

Agora que sabemos que as parábolas se encontram em $ x = 1 $, vamos identificar qual função está por cima da outra nesse intervalo. Para $ 0 \leq x \leq 1 $:
  • $ y = 2 - x^{2} $ está acima de $ y = x^{2} $.

Passo 5

A área entre essas duas curvas no intervalo [0, 1] pode ser calculada pela integral da diferença das funções:
Área = integral0^1 ( (2 - x^2) - (x^2) ) dx Á

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Área = integral0^1 (2 - 2x^2) dx Á

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
integral (2 - 2x^2) dx = 2x - 23x^3 + C

Passo 8

Avaliando a integral de $ 0 $ a $ 1 $:
0 ÁÁÁ

Resposta

A área da região $ \mathbf{R} $ é $ \frac{4}{3} $ unidades quadradas.

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