Calcule a área da região plana
abaixo.
é a região no 1o. quadrante limitada pelas parabolas
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos tirar essa dúvida juntos! O exercício pede para calcular a área da região $ \mathbf{R} $ no primeiro quadrante, limitada pelas parábolas $ y = x^{2} $ e $ y = 2 - x^{2} $. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas parábolas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Como estamos no primeiro quadrante, consideramos apenas $ x = 1 $.
Passo 4
Agora que sabemos que as parábolas se encontram em $ x = 1 $, vamos identificar qual função está por cima da outra nesse intervalo. Para $ 0 \leq x \leq 1 $:
- $ y = 2 - x^{2} $ está acima de $ y = x^{2} $.
Passo 5
A área entre essas duas curvas no intervalo
pode ser calculada pela integral da diferença das funções:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Passo 8
Avaliando a integral de $ 0 $ a $ 1 $:
Resposta
A área da região $ \mathbf{R} $ é $ \frac{4}{3} $ unidades quadradas.