Seja
o retângulo definido por
e seja o plano descrito por
.
(a) Seja
uma partição com apenas um sub-retângulo, ou seja, que não divide o retângulo original Q. Calcule a soma de Riemann superior e a soma de Riemann inferior de
aproximando a função pelo máximo global e mínimo global respectivamente.
(b) Seja
uma partição que divide cada intervalo em 2 subintervalos, ou seja, que divide o retângulo
em 4 subretângulos. Encontre o máximo global e o mínimo global da função em cada um dos 4 sub-retângulos. Calcule a soma superior e a soma inferior de
sobre a partição
. Verifique que
e que
(c) Seja
uma partição que divide o intervalo
em
subintervalos e o intervalo
em
subintervalos, ou seja, que divide o retângulo
em
subretângulos. Encontre o máximo global e o mínimo global da função em cada um dos
sub-retãngulos. Calcule a soma superior e a soma inferior de
sobre a partição
. Verifique que
(d) Verifique que
e calcule
(a) Seja
(b) Seja
(c) Seja
(d) Verifique que
Passo 1
O enunciado define o retângulo
e a função afim
Como
é crescente em
e decrescente em
, o máximo sobre qualquer sub-retângulo aparece no canto com maior
e menor
, e o mínimo no canto com menor
e maior
. Vamos usar isso para calcular as somas de Riemann inferiores
e superiores
em cada caso, verificar as desigualdades pedidas e, por fim, mostrar que a diferença
tende a zero quando refinamos a partição e calcular a integral de
sobre
.
Passo 2
(a) Partição trivial
sem subdivisão: o único sub-retângulo é
inteiro.
- Mínimo global em
:
- Máximo global em
:
A área de
é
.
Passo 3
(b) Partição
que divide cada intervalo em 2, criando 4 sub-retângulos de medidas
,
e área
. Vamos listar
e
em cada um:
Logo,
Como
e
, de fato
Passo 4
(c) Partição
que divide
em
pedaços de largura
e
em
pedaços de altura
. Há
retângulos, cada um de área
No retângulo
a maior
fica em
e a menor em
. Assim
e claramente em cada parcela
, logo
Passo 5
(d) A diferença
Como há
parcelas,
Fica
Para a integral, escolhemos ordem
:
No interior,
então
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
e de fato
,
.
(c) Para a partição genérica , tem-se sempre
.
(d)
(b)
(c) Para a partição genérica
(d)