Seja Q o retângulo definido por [0,2] times[0,1] e seja o plano descrito por f(x, y)=2+3 x-2 y.
(a) Seja P^prime uma partição com apenas um sub-retângulo, ou seja, que não divide o retângulo original Q. Calcule a soma de Riemann superior e a soma de Riemann inferior de f aproximando a função pelo máximo global e mínimo global respectivamente.
(b) Seja P^prime prime uma partição que divide cada intervalo em 2 subintervalos, ou seja, que divide o retângulo Q em 4 subretângulos. Encontre o máximo global e o mínimo global da função em cada um dos 4 sub-retângulos. Calcule a soma superior e a soma inferior de f(x, y) sobre a partição P^prime. Verifique que I(f, P^prime prime)>I(f, P^prime) e que S(f, P^prime prime)<S(f, P^prime)
(c) Seja P uma partição que divide o intervalo [0,2] em n subintervalos e o intervalo [0,1] em m subintervalos, ou seja, que divide o retângulo Q em n cdot m subretângulos. Encontre o máximo global e o mínimo global da função em cada um dos n cdot m sub-retãngulos. Calcule a soma superior e a soma inferior de f(x, y) sobre a partição P. Verifique que I(f, P)<S(f, P)
(d) Verifique que
lim n infty lim m infty(S(f, P)-I(f, P))=0
e calcule
integral duplaQ f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado define o retângulo
Q = [0,2]times[0,1]
e a função afim
f(x,y)=2+3x-2y
Como f é crescente em x e decrescente em y, o máximo sobre qualquer sub-retângulo aparece no canto com maior x e menor y, e o mínimo no canto com menor x e maior y. Vamos usar isso para calcular as somas de Riemann inferiores I e superiores S em cada caso, verificar as desigualdades pedidas e, por fim, mostrar que a diferença S-I tende a zero quando refinamos a partição e calcular a integral de f sobre Q.

Passo 2

(a) Partição trivial P' sem subdivisão: o único sub-retângulo é Q inteiro.
  • Mínimo global em x=0,y=1:
f(0,1)=2+3cdot0-2cdot1=0
  • Máximo global em x=2,y=0:
f(2,0)=2+3cdot2-2cdot0=8
A área de Q é 2cdot1=2.
I(f,P') = (infQ f)cdotÁrea(Q) = 0cdot2 = 0, Á
S(f,P') = (supQ f)cdotÁrea(Q) = 8cdot2 = 16 Á

Passo 3

(b) Partição P'' que divide cada intervalo em 2, criando 4 sub-retângulos de medidas De<a x=1, De<a y=0.5 e área 0.5. Vamos listar inf e sup em cada um:
c|c|c Sub-retângulo & inf f & sup fhline [0,1]times[0,0.5] & f(0,0.5)=1 & f(1,0)=5 [1,2]times[0,0.5] & f(1,0.5)=4 & f(2,0)=8 [0,1]times[0.5,1] & f(0,1)=0 & f(1,0.5)=4 [1,2]times[0.5,1] & f(1,1)=3 & f(2,0.5)=7 â
Logo,
I(f,P'') = 0.5,(1+4+0+3) = 4,
S(f,P'') = 0.5,(5+8+4+7) = 12
Como I(f,P')=0 e S(f,P')=16, de fato
I(f,P'')=4>0=I(f,P'), S(f,P'')=12<16=S(f,P')

Passo 4

(c) Partição P que divide [0,2] em n pedaços de largura De<a x=2/n e [0,1] em m pedaços de altura De<a y=1/m. Há nm retângulos, cada um de área
De<a A = De<a x,De<a y = 2ncdot1m = 2nm
No retângulo [xi-1,xi]times[yj-1,yj] a maior f fica em (xi,yj-1) e a menor em (xi-1,yj). Assim
I(f,P) =sumi,jl(2+3xi-1-2yjr),De<a A, S(f,P) =sumi,jl(2+3xi-2yj-1r),De<a A,
e claramente em cada parcela 2+3xi-1-2yj<2+3xi-2yj-1, logo
I(f,P)<S(f,P)

Passo 5

(d) A diferença
S(f,P)-I(f,P) =sumi,jl[(2+3xi-2yj-1)-(2+3xi-1-2yj)r]De<a A =sumi,j(3De<a x+2De<a y),De<a A
Como há nm parcelas,
S-I = nm,(3De<a x+2De<a y),De<a x,De<a y =nml(32n+21mr)2nm =121n+41m
Fica
limntoinftylimmtoinfty(S-I) =limntoinftyl(121n+4cdot0r)=0
Para a integral, escolhemos ordem dy,dx:
integral duplaQ f(x,y),dx,dy =integralx=0^2integraly=0^1(2+3x-2y),dy,dx
No interior,
integral0^1(2+3x-2y),dy =l[2y+3xy-y^2r]0^1 =2+3x-1=1+3x,
então
integral0^2(1+3x),dx =l[x+tfrac32x^2r]0^2 =2+6=8

Resposta

(a) I(f,P')=0, S(f,P')=16.
(b) I(f,P'')=4, S(f,P'')=12 e de fato I(f,P'')>I(f,P'), S(f,P'')<S(f,P').
(c) Para a partição genérica P, tem-se sempre I(f,P)<S(f,P).
(d)
limntoinftylimmtoinftyl(S(f,P)-I(f,P)r)=0, integral duplaQf(x,y),dx,dy=8

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