Questão 3. (2,0) Calcule a soma da série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{2}{n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série
\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{2}{n^{2}-1}.
O conteúdo aqui é de séries telescópicas: vamos usar frações parciais para decompor o termo geral e, em seguida, somar a série por meio de somas parciais que se cancelam.

Passo 2

Decompondo em frações parciais: procuramos A e B tais que
\frac{2}{n^{2}-1} = \frac{A}{n-1} + \frac{B}{n+1}.
Multiplicando por (n-1)(n+1), obtemos
2 = A\,(n+1) + B\,(n-1) = (A+B)\,n + (A - B).
Comparando coeficientes em n e termos constantes dá
A + B = 0, \quad A - B = 2 \;\Longrightarrow\; A=1,\;B=-1.
Logo,
\frac{2}{n^{2}-1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Definindo a soma parcial até N:
S_{N} = \sum_{n=2}^{N} \Bigl(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\Bigr) = \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n-1} \;-\;\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n+1}.
Fazendo mudança de índice na primeira soma ( k=n-1, de k=1 até k=N-1) e na segunda ( m=n+1, de m=3 até m=N+1), vem
S_{N} = \sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k} \;-\;\sum_{m=3}^{N+1}\frac{1}{m}.
Observando que os termos de 1/3 até 1/(N-1) cancelam, sobra
S_{N} = \Bigl(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}\Bigr) \;-\;\Bigl(\frac{1}{N} + \frac{1}{N+1}\Bigr) = 1 + \frac{1}{2} - \Bigl(\frac{1}{N} + \frac{1}{N+1}\Bigr).

Passo 4

Para obter a soma da série original, tomamos o limite N\to\infty. Como
\tfrac{1}{N}+\tfrac{1}{N+1}\to0, fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n^{2}-1} = \lim_{N\to\infty}S_{N} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

Exercícios relacionados