Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule as integrais definidas abaixo:
integral0^pi / 2 x cos x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/2 xcos x,dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo e técnicas de integração por partes.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos u = x (de onde du = dx) e dv = cos x,dx (de onde v = sin x).

Passo 3

Usando a fórmula de integração por partes em bloco:
integral0^pi/2 xcos x,dx = l[xsin xr]0^pi/2 - integral0^pi/2 sin x,dx

Passo 4

Agora avaliamos cada termo:
  • O termo de fronteira fica: l[xsin xr]0^pi/2 = pi2cdotsinl(pi2r) - 0cdotsin(0) = pi2cdot1 - 0 = pi2
  • A integral restante é integral0^pi/2 sin x,dx = l[-cos xr]0^pi/2 = l(-costfracpi2r) - l(-cos0r) = 0 - (-1) = 1

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
integral0^pi/2 xcos x,dx = pi2 - 1

Resposta

pi2 - 1

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