Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla
Conteúdo: integração dupla e troca de ordem de integração (teorema de Fubini).

Passo 2

A região de integração R está dada por 0≤x≤2 e 0≤y≤4−x². Se desenharmos essa região no plano (x,y), vemos que y varia de 0 até 4, e para cada y fixo, x vai de 0 até raiz4−y. Logo, podemos reescrever as desigualdades como 0≤y≤4 e 0≤x≤ raiz4−y.
Invertendo a ordem de integração, a integral passa a ser
$$\n\int_{y=0}^{4} \int_{x=0}^{\sqrt{4-y}} \frac{x , e^{2y}}{4-y} ,dx,dy
$$

Passo 3

Agora calculamos primeiro a integral interna em x. Note que
$$\n\int_{0}^{\sqrt{4-y}} x ,dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{\sqrt{4-y}} = \frac{4-y}{2}
$$

Passo 4

Substituindo na integral dupla, o fator (4−y) do denominador cancela com o numerador gerado, sobrando
$$\n\int_{0}^{4} \frac{4-y}{2} \cdot \frac{e^{2y}}{4-y} ,dy = \int_{0}^{4} \frac{e^{2y}}{2} ,dy = \frac12 \int_{0}^{4} e^{2y} ,dy
$$

Passo 5

Por fim, integramos em y:
$$\n\frac12 \int_{0}^{4} e^{2y} ,dy = \frac12 \left. \frac{e^{2y}}{2} \right|_{0}^{4} = \frac{1}{4} (e^{8} - 1)
$$

Resposta

e^8-14

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