Calcule o volume de um dos sólidos utilizando integral tripla
(a) Esfera de raio R, isto é, S=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= R^2

Passo 1

A questão pede o volume do sólido S =(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2<= R^2, que é uma esfera de raio R. O conteúdo aqui é integral tripla e a dica clássica é usar coordenadas esféricas para aproveitar a simetria e o jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinvarphicostheta, y=rhosinvarphisintheta, z=rhocosvarphi,
com rho>=0, 0<=varphi<=pi e 0<=theta<2pi. O jacobiano vale rho^2sinvarphi. O domínio da esfera vira 0<=rho<= R, 0<=varphi<=pi, 0<=theta<2pi.

Passo 3

Montamos a integral de volume usando o jacobiano:
V=integral triplaSdV=integraltheta=0^2piintegralvarphi=0^piintegralrho=0^Rrho^2sinvarphi,drho,dvarphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em rho:
integral0^Rrho^2,drho=R^33
Então
V=integral0^2piintegral0^piR^33sinvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 5

Agora integramos em varphi:
integral0^pisinvarphi,dvarphi=2
Isso dá
V=R^33cdot2integral0^2pidtheta

Passo 6

Finalmente, integramos em theta:
integral0^2pidtheta=2pi
Logo
V=R^33cdot2cdot2pi=4pi R^33

Resposta

V=tfrac43pi R^3

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