Calcule o volume de um dos sólidos utilizando integral tripla
(a) Esfera de raio
, isto é,
(a) Esfera de raio
Passo 1
A questão pede o volume do sólido S
, que é uma esfera de raio R. O conteúdo aqui é integral tripla e a dica clássica é usar coordenadas esféricas para aproveitar a simetria e o jacobiano.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com
,
e
. O jacobiano vale
. O domínio da esfera vira
,
,
.
Passo 3
Montamos a integral de volume usando o jacobiano:
Passo 4
Primeiro integramos em
:
Então
Passo 5
Agora integramos em
:
Isso dá
Passo 6
Finalmente, integramos em
:
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