Use o Teste da Razão ou da Raiz para determinar se a série converge ou diverge ou se o teste é inconclusivo, nos seguintes casos:
a) sumn=1^+infty (lnn)^nn^n / 2
b) sumn=1^+infty (-1)^n(n!)^n(n^n)^2
c) sumn=1^+infty 5^nn 3^n+1
d) sumn=1^+infty(-1)^n+1 n^2n!
e) sumn=1^+infty(n2 n+1)^n
f) sumn=1^+infty n!n^n

Passo 1

Vamos resolver o exercício usando o Teste da Razão ou da Raiz para cada série apresentada. O objetivo é determinar se cada uma dessas séries converge, diverge ou se o teste não é conclusivo. Vamos precisar aplicar as fórmulas desses testes nas séries dadas.

Passo 2

a)
Vamos usar o Teste da Raiz, que é útil quando temos potências de .

Passo 3

No Teste da Raiz, calculamos . Se , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Aqui, raiz[n]|an| = raiz[n](ln n)^nn^n / 2 = ln nn^1/2 . Calculamos:

Passo 5

Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty ln nn^1/2
Sabemos que cresce mais lentamente que qualquer potência de , então .

Passo 6

b)
Vamos usar o Teste da Raz��o, que é útil para séries com fatorais.

Passo 7

O Teste da Razão envolve calcular . Se , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 8

Aqui, . Ignorando o já que estamos considerando o valor absoluto.

Passo 9

Calculamos:
an+1an = ((n+1)!)^n+1(n+1)^2(n+1) cdot n^2n(n!)^n = (n+1) ( n+1n )^n cdot ( nn+1 )^2n+2

Passo 10

Simplificando:
an+1an = (n+1) ( 1n+1 )^n+2
Quando , , então .

Passo 11

c)
Vamos aplicar o Teste da Razão para determinar a convergência dessa série.

Passo 12

No Teste da Razão, calculamos . Se , converge; se , diverge; se , inconclusivo.

Passo 13

Aqui, .

Passo 14

Calculamos:
an+1an = 5^n+13^n+2 (n+1) cdot 3^n+1 n5^n = 53 cdot nn+1

Passo 15

Tomando o limite:
L = limn to infty 53 cdot nn+1 = 53 cdot 1 = 53 > 1

Passo 16

d)
Vamos usar o Teste da Alternância (ou Teste de Leibniz), pois a série é alternada.

Passo 17

O Teste de Leibniz diz que se é decrescente e , então a série alternada converge.

Passo 18

Aqui, . Vamos verificar se é decrescente e se tende a zero.

Passo 19

Primeiro, , pois cresce muito mais rápido que .
Segundo, para , é decrescente porque cada termo seguinte diminui em relação ao anterior.

Passo 20

e)
Vamos aplicar o Teste da Raiz para essa série.

Passo 21

No Teste da Raiz, calculamos . Se , converge; se , diverge; se , inconclusivo.

Passo 22

Aqui, raiz[n]|an| = n2n+1 . Calculamos a raiz enésima:

Passo 23

Calculando o limite:
L = limn to infty n2n+1 = 12

Passo 24

f)
Vamos usar o Teste da Raiz para determinar a convergência dessa série.

Passo 25

No Teste da Raiz, calculamos . Se , converge; se , diverge; se , inconclusivo.

Passo 26

Aqui, raiz[n]|an| = raiz[n]n!n . Calculamos a raiz enésima:

Passo 27

Usando a aproximação de Stirling:
n! approx n^n e^-n raiz2pi n
Portanto,
raiz[n]n! approx ne
Então,
L = limn to infty n/en = 1e < 1

Resposta

Como , a série converge pelo Teste da Raiz.

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