Encontre o(s) valor(es) de a para que os vetores u=(a, 5, - 4) e v=(a+1, 2, 4) sejam ortogonais?

Passo 1

O enunciado pede encontrar o(s) valor(es) de a para que os vetores
vec u=(a,5,-4) e vec v=(a+1,2,4) sejam ortogonais. Isso envolve produto interno em R^3 e a condição de ortogonalidade, que é
lang<= vec u,vec vrang<==0.

Passo 2

A definição do produto interno em R^3 é
lang<=(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)rang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3
Para vetores ortogonais temos
lang<= vec u,vec vrang<= = 0.

Passo 3

Substituindo vec u=(a,5,-4) e vec v=(a+1,2,4) na expressão do produto interno,
lang<= vec u,vec vrang<= = a,(a+1) + 5cdot2 + (-4)cdot4 = 0
Desenvolvendo,
a^2 + a + 10 - 16 = 0 Longrightarrow a^2 + a - 6 = 0

Passo 4

Essa é uma equação quadrática. O discriminante é
De<a = 1^2 - 4cdot1cdot(-6) = 1 + 24 = 25,
portanto as raízes são
a = -1 pm raiz252 = -1 pm 52,
isto é a = 2 ou a = -3.

Resposta

a = 2 ou a = -3

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