Calcule o volume do tetraedro A B C D sabendo que [A B]E=(1,1,0),[A C]E=(0,1,1) e [A D]E=(-4,0,0), onde E é uma base ortonormal de V^3.
Sugestão. Use o fato conhecido da geometria que o volume do tetraedro é igual a 16 do volume do paralelepípedo determinado pelos vetotes A B, A C e A D.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro ABCD cujos vetores são
AB=(1,1,0), AC=(0,1,1) e AD=(-4,0,0) em relação a uma base ortonormal.
O conteúdo é produto misto e volume de paralelepípedo:
o volume do tetraedro é tfrac16 do valor absoluto do determinante formado por esses vetores.

Passo 2

Escrevemos a matriz cujas colunas são as coordenadas de AB,AC,AD:
M = 1 & 0 & -4 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0
Então det(M) é o volume orientado do paralelepípedo.

Passo 3

Calculamos det(M) pela expansão na primeira linha:
det(M) =1cdotdet1&01&0 -0cdotdet1&00&0 +(-4)cdotdet1&10&1 =1cdot0+0-4cdot1=-4

Passo 4

O volume do paralelepípedo é lvertdet(M)rvert=4.
Logo o volume do tetraedro é
V = 16times 4 = 23

Resposta

23

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