Fixe uma orientação de V^3 e seja E uma base ortonormal positiva de V^3. Determine as coordenadas do vetor x na base E sabendo que esse vetor satisfaz as seguintes propriedades:
(2) |x|=raiz3;

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V^3 com uma base ortonormal positiva E=e1,e2,e3. Queremos achar as coordenadas de x em E sabendo apenas que
|x| = raiz3
Para resolver, vamos usar a relação entre norma e coordenadas em base ortonormal.

Passo 2

Escrevemos o vetor x em coordenadas na base E:
x = x1,e1 + x2,e2 + x3,e3,
onde x1,x2,x3 são as coordenadas de x em E.

Passo 3

Em uma base ortonormal vale a identidade
|x|^2 = x1^2 + x2^2 + x3^2

Passo 4

Como |x| = raiz3, elevamos ao quadrado e obtemos
x1^2 + x2^2 + x3^2 = (raiz3)^2 = 3

Resposta

As coordenadas de x na base ortonormal E são l(x1,x2,x3r) sujeitas à condição
x1^2 + x2^2 + x3^2 = 3

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