Verifique se
é um espaço vetorial com as operações de adição
e de multiplicação por escalar
dadas por:
(i)
(i)
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a adição usual
e a multiplicação por escalar “estranha”
Para decidir se
é espaço vetorial sobre
, precisamos verificar os oito axiomas:
- fechamento em
e em , - comutatividade e associatividade de
, - elemento neutro e inversos em
, - identidade escalar
, - compatibilidade
, - distributividade de
sobre em vetores, - distributividade de
sobre soma de escalares.
Passo 2
Verificamos fechamento: dado
, temos
Para
e
,
Logo, o conjunto está fechado em ambas as operações.
Passo 3
Checamos os axiomas de adição:
- Comutatividade:
- Associatividade: segue da associatividade da soma real.
- Neutro em
: é tal que - Inverso: para
o inverso é pois
Passo 4
Identidade escalar e compatibilidade:
- Identidade:
- Compatibilidade de escalares:
e
Ambos valem, então esses axiomas seguram.
Passo 5
Distributividade sobre soma de vetores: para
e
temos
e
Como
, este axioma também vale.
Passo 6
Distributividade sobre soma de escalares: para
e
temos
enquanto
Esses dois resultados coincidem só se
, isto é, quando
. Em geral falham, logo o axioma não se satisfaz.
Resposta
falha sempre que
.