Verifique se V=(x, y) mid x, y in R é um espaço vetorial com as operações de adição oplus e de multiplicação por escalar odot dadas por:
(i) (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) ; alpha odot(x, y)=(x, alpha y)

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (x,y)mid x,yinR
com a adição usual
(x1,y1)oplus(x2,y2) = (x1+x2,;y1+y2)
e a multiplicação por escalar “estranha”
alphaodot(x,y) = (x,;alpha y)
Para decidir se (V,oplus,odot) é espaço vetorial sobre R, precisamos verificar os oito axiomas:
  1. fechamento em oplus e em odot,
  2. comutatividade e associatividade de oplus,
  3. elemento neutro e inversos em oplus,
  4. identidade escalar 1odot v=v,
  5. compatibilidade (alphabeta)odot v=alphaodot(betaodot v),
  6. distributividade de odot sobre oplus em vetores,
  7. distributividade de odot sobre soma de escalares.

Passo 2

Verificamos fechamento: dado (x1,y1),(x2,y2)in V, temos
(x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)in V
Para alphainR e (x,y)in V,
alphaodot(x,y)=(x,alpha y)in V
Logo, o conjunto está fechado em ambas as operações.

Passo 3

Checamos os axiomas de adição:
  • Comutatividade: (x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x2+x1,y2+y1)=(x2,y2)oplus(x1,y1)
  • Associatividade: segue da associatividade da soma real.
  • Neutro em oplus: (0,0) é tal que (x,y)oplus(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y)
  • Inverso: para (x,y) o inverso é (-x,-y) pois (x,y)oplus(-x,-y)=(0,0)

Passo 4

Identidade escalar e compatibilidade:
  • Identidade: 1odot(x,y)=(x,1cdot y)=(x,y)
  • Compatibilidade de escalares: (alphabeta)odot(x,y) = l(x,(alphabeta)yr) e alphaodotl(betaodot(x,y)r) =alphaodotl(x,beta yr) =l(x,alpha(beta y)r) =l(x,(alphabeta)yr)
Ambos valem, então esses axiomas seguram.

Passo 5

Distributividade sobre soma de vetores: para v=(x1,y1) e w=(x2,y2) temos
alphaodotl(voplus wr) =alphaodotl(x1+x2,;y1+y2r) =l(x1+x2,;alpha(y1+y2)r)
e
alphaodot v;oplus;alphaodot w =(x1,alpha y1)oplus(x2,alpha y2) =(x1+x2,;alpha y1+alpha y2)
Como alpha(y1+y2)=alpha y1+alpha y2, este axioma também vale.

Passo 6

Distributividade sobre soma de escalares: para alpha,betainR e v=(x,y) temos
(alpha+beta)odot(x,y) = l(x,(alpha+beta)yr)
enquanto
alphaodot(x,y);oplus;betaodot(x,y) =(x,alpha y)oplus(x,beta y) =(x+x,;alpha y+beta y) =l(2x,(alpha+beta)yr)
Esses dois resultados coincidem só se 2x=x, isto é, quando x=0. Em geral falham, logo o axioma não se satisfaz.

Resposta

(V,oplus,odot) não é espaço vetorial, pois a distributividade
(alpha+beta)odot v = alphaodot v oplus betaodot v
falha sempre que xneq0.

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