Fixe uma orientação de V^3 e seja E uma base ortonormal positiva. Dados os vetores u e v tais que [u]E=(1,1,1) e [v]E=(0,1,2), determine uma base ortonormal positiva (a, b, c) de V^3 satisfazendo as condições (1) e (2) abaixo:
(1) a / / u e a tem o mesmo sentido que u;

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal positiva (a,b,c) em V^3 tal que
(1) a seja paralelo a u e com o mesmo sentido,
(2) b pertença ao plano gerado por u e v e seja ortogonal a a,
e que a orientação (a,b,c) seja positiva.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt em relação à base ortonormal E.

Passo 2

Como [u]E=(1,1,1), temos
|u|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3,
logo a primeira direção da base é
a=u|u| =1raiz3,(1,1,1)

Passo 3

Projetamos v sobre a ortogonal a a. Como [v]E=(0,1,2),
lang<=a,vrang<= =1cdot0+1cdot1+1cdot2raiz3 =3raiz3=raiz3
Então
v'=v-lang<=a,vrang<=,a =(0,1,2)-raiz3,1raiz3(1,1,1) =(0,1,2)-(1,1,1)=(-1,0,1)
Como |v'|=raiz(-1)^2+0^2+1^2=raiz2, definimos
b=v'|v'| =1raiz2(-1,0,1)

Passo 4

Para completar a base com orientação positiva, tomamos
c=atimesb
Fazendo o produto vetorial em coordenadas:
c =1raiz3(1,1,1)times1raiz2(-1,0,1) =1raiz6(1,-2,1)
É fácil verificar que |c|=1 e que (a,b,c) tem determinante positivo.

Resposta

a=1raiz3(1,1,1), b=1raiz2(-1,0,1), c=1raiz6(1,-2,1)

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