Fixe uma orientação de
e seja
uma base ortonormal positiva. Dados os vetores
e
tais que
e
, determine uma base ortonormal positiva
de
satisfazendo as condições (1) e (2) abaixo:
(1)
e
tem o mesmo sentido que
;
(1)
Passo 1
O enunciado pede uma base ortonormal positiva
em
tal que
(1) seja paralelo a
e com o mesmo sentido,
(2) pertença ao plano gerado por
e
e seja ortogonal a
,
e que a orientação seja positiva.
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt em relação à base ortonormal .
(1)
(2)
e que a orientação
Vamos usar o processo de Gram–Schmidt em relação à base ortonormal
Passo 2
Como
, temos
logo a primeira direção da base é
Passo 3
Projetamos
sobre a ortogonal a
. Como
,
Então
Como
, definimos
Passo 4
Para completar a base com orientação positiva, tomamos
Fazendo o produto vetorial em coordenadas:
É fácil verificar que
e que
tem determinante positivo.