1.5 Calcule o volume
da esfera a partir do seu diâmetro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume
de uma esfera a partir do seu diâmetro.\n
Informações dadas: o diâmetro da esfera é representado por .\n
O que se pede: obter uma expressão para o volume em função de
(ou seja, escrever
usando apenas
e constantes como
).
Informações dadas: o diâmetro da esfera é representado por
O que se pede: obter uma expressão para o volume
Passo 2
Definimos as variáveis envolvidas e a relação entre elas.\n
O raio da esfera será chamado de . Por definição geométrica do círculo/esfera, o diâmetro é o dobro do raio, portanto temos a relação
O raio da esfera será chamado de
Aqui
é o comprimento do raio e
é o comprimento do diâmetro, ambos medidos na mesma unidade (por exemplo, centímetros).
Passo 3
Apresentamos a fórmula conhecida do volume da esfera e explicamos o que cada símbolo significa.\n
A fórmula padrão para o volume de uma esfera em termos do raio é
A fórmula padrão para o volume de uma esfera em termos do raio é
Nessa fórmula:
é o volume (unidade cúbica, por exemplo
),
é a constante aproximadamente
, e
é o raio da esfera. Essa fórmula vem do cálculo (integração) ou de fórmulas geométricas clássicas, mas na prova é suficiente memorizá-la ou derivá-la rapidamente a partir de conhecimento prévio.
Passo 4
Substituímos a relação
na fórmula do volume.\n
Fazendo a substituição obtemos
Fazendo a substituição obtemos
Explique-se o que fizemos: trocamos a variável
por
porque queremos
em função de
.
Passo 5
Simplificamos a expressão algébrica passo a passo.\n
Primeiro calculamos a potência:
Primeiro calculamos a potência:
Agora substituímos na expressão de
:
Fatoramos e simplificamos os números racionais:
Portanto
Passo 6
Comentário prático e checagem rápida (útil na prova).\n
- Unidade: se
estiver em metros, o volume estará em metros cúbicos; se estiver em centímetros, estará em centímetros cúbicos.\n - Verificação com um exemplo simples: se
(unidades quaisquer), então e a fórmula original dá . Pela fórmula em função de temos . Bate certinho.\n
Dica para a prova: se pedirem o volume a partir do diâmetro, lembre rápido quee que isso transforma em . Relaxa, fica mais fácil com essa fórmula pronta na cabeça!