1.5 Calcule o volume V da esfera a partir do seu diâmetro.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume V de uma esfera a partir do seu diâmetro.\n
Informações dadas: o diâmetro da esfera é representado por d.\n
O que se pede: obter uma expressão para o volume V em função de d (ou seja, escrever V usando apenas d e constantes como \pi).

Passo 2

Definimos as variáveis envolvidas e a relação entre elas.\n
O raio da esfera será chamado de r. Por definição geométrica do círculo/esfera, o diâmetro é o dobro do raio, portanto temos a relação
r = \frac{d}{2}.
Aqui r é o comprimento do raio e d é o comprimento do diâmetro, ambos medidos na mesma unidade (por exemplo, centímetros).

Passo 3

Apresentamos a fórmula conhecida do volume da esfera e explicamos o que cada símbolo significa.\n
A fórmula padrão para o volume de uma esfera em termos do raio é
V = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Nessa fórmula: V é o volume (unidade cúbica, por exemplo \text{cm}^{3}), \pi é a constante aproximadamente 3{,}14159, e r é o raio da esfera. Essa fórmula vem do cálculo (integração) ou de fórmulas geométricas clássicas, mas na prova é suficiente memorizá-la ou derivá-la rapidamente a partir de conhecimento prévio.

Passo 4

Substituímos a relação r = \frac{d}{2} na fórmula do volume.\n
Fazendo a substituição obtemos
V = \frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}.
Explique-se o que fizemos: trocamos a variável r por \frac{d}{2} porque queremos V em função de d.

Passo 5

Simplificamos a expressão algébrica passo a passo.\n
Primeiro calculamos a potência:
\left(\frac{d}{2}\right)^{3} = \frac{d^{3}}{2^{3}} = \frac{d^{3}}{8}.
Agora substituímos na expressão de V:
V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{d^{3}}{8}.
Fatoramos e simplificamos os números racionais:
\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{8} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}.
Portanto
V = \frac{1}{6}\pi d^{3}.

Passo 6

Comentário prático e checagem rápida (útil na prova).\n
  • Unidade: se d estiver em metros, o volume V estará em metros cúbicos; se d estiver em centímetros, V estará em centímetros cúbicos.\n
  • Verificação com um exemplo simples: se d=2 (unidades quaisquer), então \;r=1 e a fórmula original dá V=\tfrac{4}{3}\pi\cdot1^{3}=\tfrac{4}{3}\pi. Pela fórmula em função de d temos V=\tfrac{1}{6}\pi\cdot2^{3}=\tfrac{1}{6}\pi\cdot8=\tfrac{4}{3}\pi. Bate certinho.\n
    Dica para a prova: se pedirem o volume a partir do diâmetro, lembre rápido que r=\tfrac{d}{2} e que isso transforma \tfrac{4}{3}\pi r^{3} em \tfrac{1}{6}\pi d^{3}. Relaxa, fica mais fácil com essa fórmula pronta na cabeça!

Resposta

V = \frac{1}{6}\pi d^{3}

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