. Uma partícula de massa m se move sob a ação de uma força central \vec{F}=F(r) \hat{r}, com F(r) dada por:
F(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}}-\frac{\beta}{r^{3}}
onde \alpha e \beta são constantes positivas. Admitindo-se que l^{2}>m \beta, mostre que a orbita é uma elipse que precessiona e determine o ângulo de precessão num periodo completo (o avanço do periélio por revolução).

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m está sujeita a uma força central
\vec{F}=F(r)\,\hat{r},\qquad F(r)=-\frac{\alpha}{r^{2}}-\frac{\beta}{r^{3}},
com \alpha>0, \beta>0 e que l^{2}>m\beta, onde l é o momento angular da partícula (constante).\n
O que se pede:
  1. Mostrar que a órbita é uma elipse que precessiona (ou seja, tem a forma de uma conica elíptica, mas o periélio gira no plano).
  2. Determinar o ângulo de precessão por período completo (avanço do periélio por revolução).\n
    Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar explicitamente: \alpha,\beta,m,l e a condição l^{2}>m\beta.

Passo 2

Escrevendo as equações do movimento em coordenadas polares e introduzindo a substituição padrão que simplifica forças centrais.\n
  • Conservação do momento angular: o momento angular por unidade de massa é
l = m r^{2}\dot{\theta}\quad\Rightarrow\quad \dot{\theta}=\frac{l}{m r^{2}}.
Expliquei: l é constante porque a força é central (sem torque). \n
  • Equação radial (segunda lei de Newton em coordenadas polares):
m\ddot{r}-m r\dot{\theta}^{2}=F(r).
Aqui \ddot{r} é a aceleração radial e o termo -m r\dot{\theta}^{2} é a força centrífuga aparente.\n
  • Para resolver órbitas convém usar a variável u(\theta)=\dfrac{1}{r(\theta)}. Isso torna a equação em função de \theta (não do tempo) — muito útil porque \theta é monótona no tempo. Vou mostrar a transformação passo a passo:\n
    Derivadas: r=1/u. Usando \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dr}{d\theta}\dot{\theta} e \dot{\theta}=\dfrac{l}{m r^{2}} dá mecanismos para reescrever \ddot{r} em termos de derivadas em relação a \theta. O resultado padrão (que se obtém por cálculo direto) é a equação de Binet:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=-\frac{m}{l^{2}}\,\frac{F(1/u)}{u^{2}}.
Expliquei: a equação acima é a forma canônica para problemas de forças centrais — transforma a força F(r) em uma equação linear (quando F tem dependência polinomial apropriada) para u(\theta).

Passo 3

Aplicando a força dada na equação de Binet.\n
Temos r=1/u, portanto
F(1/u)=-\alpha u^{2}-\beta u^{3}.
Substituindo em Binet:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=-\frac{m}{l^{2}}\frac{-\alpha u^{2}-\beta u^{3}}{u^{2}}.
Simplificando o lado direito:
-\frac{m}{l^{2}}\frac{-\alpha u^{2}-\beta u^{3}}{u^{2}}=\frac{m}{l^{2}}\big(\alpha+\beta u\big).
Logo a equação fica
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=\frac{m\alpha}{l^{2}}+\frac{m\beta}{l^{2}}\,u.

Passo 4

Reescrevendo a equação como uma equação linear de coeficientes constantes e definindo parâmetros úteis.\n
Passo algébrico: juntar os termos em u:
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+\Big(1-\frac{m\beta}{l^{2}}\Big)u=\frac{m\alpha}{l^{2}}.
Definimos
\varepsilon \equiv 1-\frac{m\beta}{l^{2}}.
Pela hipótese l^{2}>m\beta temos \varepsilon>0. Definindo também
\kappa\equiv\sqrt{\varepsilon}=\sqrt{1-\frac{m\beta}{l^{2}}},
a equação torna-se
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+\kappa^{2} u=\frac{m\alpha}{l^{2}}.
Expliquei: temos agora uma equação linear homogênea com termo constante à direita — é uma EDO harmônica forçada com constante.

Passo 5

Resolver a EDO e escrever a solução na forma de uma conica precessante.\n
A solução geral da equação
\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+\kappa^{2} u=\frac{m\alpha}{l^{2}}
é soma da solução homogênea (seno e cosseno) mais uma solução particular constante. Assim
u(\theta)=C_{1}\cos(\kappa\theta)+C_{2}\sin(\kappa\theta)+\frac{m\alpha}{l^{2}\kappa^{2}}.
Podemos reescrever as constantes C_{1},C_{2} em termos de amplitude e fase: defina e\ge 0 e \theta_{0} tais que
C_{1}= \frac{m\alpha}{l^{2}\kappa^{2}}\,e\quad\text{e}\quad C_{2}=0\\ \text{(escolhendo a origem angular adequada)},
ou, de modo mais geral,
u(\theta)=\frac{m\alpha}{l^{2}\kappa^{2}}\Big(1+e\cos\big(\kappa(\theta-\theta_{0})\big)\Big),
onde e é a “excentricidade” (determineda pelas condições iniciais) e \theta_{0} fixa a orientação do periélio.\n
Voltando a r=1/u, obtemos
r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\big(\kappa(\theta-\theta_{0})\big)},
com
p=\frac{l^{2}\kappa^{2}}{m\alpha}=\frac{l^{2}}{m\alpha}\Big(1-\frac{m\beta}{l^{2}}\Big).
Expliquei: esta forma é semelhantíssima à forma polar de uma cônica com foco na origem, exceto pelo fator \kappa multiplicando \theta. Se definirmos um novo ângulo \varphi=\kappa\theta então
r(\varphi)=\frac{p}{1+e\cos(\varphi-\varphi_{0})},
que é exatamente a equação de uma cônica (elipse, parábola ou hipérbole) com foco na origem. Portanto geometricamente, observando o padrão descrito pelos pontos (r,\theta), se 0\le e<1 a curva é uma elipse — mas, no espaço físico onde o ângulo é \theta, o argumento da cosseno avança mais devagar (ou mais rápido) dependendo de \kappa, o que produz uma rotação do periélio a cada volta: ou seja, uma elipse que precessiona.\n
Comentário sobre bound/ellipse: para órbitas ligadas (energia apropriada) obtemos e<1 e a curva corresponde a uma elipse no ângulo \varphi. A condição \varepsilon>0 (dada por l^{2}>m\beta) garante que a frequência \kappa é real e a solução é oscilatória em \theta, necessária para órbitas fechadas em \varphi e precessão no \theta.

Passo 6

Calcular explicitamente o avanço do periélio por revolução.\n
O periélio ocorre quando r é mínimo, ou seja quando u é máximo, o que acontece quando o cosseno vale 1:
\kappa(\theta-\theta_{0})=2\pi n\quad\Rightarrow\quad \theta_{n}=\theta_{0}+\frac{2\pi n}{\kappa}.
Portanto o ângulo entre periélios consecutivos (entre n e n+1) é
\Delta\theta=\theta_{n+1}-\theta_{n}=\frac{2\pi}{\kappa}.
Numa volta completa em \theta (isto é, um incremento de 2\pi em \theta) a periélio não retorna ao mesmo lugar angular: o periélio avançou em relação à volta de 2\pi de
\delta\theta=\Delta\theta-2\pi=\frac{2\pi}{\kappa}-2\pi=2\pi\Big(\frac{1}{\kappa}-1\Big).
Substituindo \kappa=\sqrt{1-\dfrac{m\beta}{l^{2}}} obtemos a expressão final do avanço do periélio por revolução:
\boxed{\delta\theta=2\pi\Bigg(\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{m\beta}{l^{2}}}}-1\Bigg).}
Uma expansão para pequeno \dfrac{m\beta}{l^{2}} dá a aproximação útil
\delta\theta\approx\pi\,\frac{m\beta}{l^{2}}\quad\text{(para \(m\beta/l^{2}\ll1\))},
o que mostra que o avanço é pequeno e proporcional a \beta quando o termo extra é pequeno.

Resposta

A órbita tem a forma
r(\theta)=\frac{p}{1+e\cos\big(\kappa(\theta-\theta_{0})\big)},
com p=\dfrac{l^{2}}{m\alpha}\Big(1-\dfrac{m\beta}{l^{2}}\Big) e \kappa=\sqrt{1-\dfrac{m\beta}{l^{2}}}; isto é, é uma elipse (para e<1) que precessiona.\n
O avanço do periélio por revolução é
\delta\theta=2\pi\Bigg(\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{m\beta}{l^{2}}}}-1\Bigg).

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