. Uma partícula de massa
se move sob a ação de uma força central
, com
dada por:
onde
e
são constantes positivas. Admitindo-se que
, mostre que a orbita é uma elipse que precessiona e determine o ângulo de precessão num periodo completo (o avanço do periélio por revolução).
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de massa
está sujeita a uma força central
com
,
e que
, onde
é o momento angular da partícula (constante).\n
O que se pede:
O que se pede:
- Mostrar que a órbita é uma elipse que precessiona (ou seja, tem a forma de uma conica elíptica, mas o periélio gira no plano).
- Determinar o ângulo de precessão por período completo (avanço do periélio por revolução).\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar explicitamente:e a condição .
Passo 2
Escrevendo as equações do movimento em coordenadas polares e introduzindo a substituição padrão que simplifica forças centrais.\n
- Conservação do momento angular: o momento angular por unidade de massa é
Expliquei:
é constante porque a força é central (sem torque). \n
- Equação radial (segunda lei de Newton em coordenadas polares):
Aqui
é a aceleração radial e o termo
é a força centrífuga aparente.\n
- Para resolver órbitas convém usar a variável
. Isso torna a equação em função de (não do tempo) — muito útil porque é monótona no tempo. Vou mostrar a transformação passo a passo:\n
Derivadas:. Usando e dá mecanismos para reescrever em termos de derivadas em relação a . O resultado padrão (que se obtém por cálculo direto) é a equação de Binet:
Expliquei: a equação acima é a forma canônica para problemas de forças centrais — transforma a força
em uma equação linear (quando
tem dependência polinomial apropriada) para
.
Passo 3
Aplicando a força dada na equação de Binet.\n
Temos , portanto
Temos
Substituindo em Binet:
Simplificando o lado direito:
Logo a equação fica
Passo 4
Reescrevendo a equação como uma equação linear de coeficientes constantes e definindo parâmetros úteis.\n
Passo algébrico: juntar os termos em :
Passo algébrico: juntar os termos em
Definimos
Pela hipótese
temos
. Definindo também
a equação torna-se
Expliquei: temos agora uma equação linear homogênea com termo constante à direita — é uma EDO harmônica forçada com constante.
Passo 5
Resolver a EDO e escrever a solução na forma de uma conica precessante.\n
A solução geral da equação
A solução geral da equação
é soma da solução homogênea (seno e cosseno) mais uma solução particular constante. Assim
Podemos reescrever as constantes
em termos de amplitude e fase: defina
e
tais que
ou, de modo mais geral,
onde
é a “excentricidade” (determineda pelas condições iniciais) e
fixa a orientação do periélio.\n
Voltando a , obtemos
Voltando a
com
Expliquei: esta forma é semelhantíssima à forma polar de uma cônica com foco na origem, exceto pelo fator
multiplicando
. Se definirmos um novo ângulo
então
que é exatamente a equação de uma cônica (elipse, parábola ou hipérbole) com foco na origem. Portanto geometricamente, observando o padrão descrito pelos pontos
, se
a curva é uma elipse — mas, no espaço físico onde o ângulo é
, o argumento da cosseno avança mais devagar (ou mais rápido) dependendo de
, o que produz uma rotação do periélio a cada volta: ou seja, uma elipse que precessiona.\n
Comentário sobre bound/ellipse: para órbitas ligadas (energia apropriada) obtemos e a curva corresponde a uma elipse no ângulo
. A condição
(dada por
) garante que a frequência
é real e a solução é oscilatória em
, necessária para órbitas fechadas em
e precessão no
.
Comentário sobre bound/ellipse: para órbitas ligadas (energia apropriada) obtemos
Passo 6
Calcular explicitamente o avanço do periélio por revolução.\n
O periélio ocorre quando é mínimo, ou seja quando
é máximo, o que acontece quando o cosseno vale
:
O periélio ocorre quando
Portanto o ângulo entre periélios consecutivos (entre
e
) é
Numa volta completa em
(isto é, um incremento de
em
) a periélio não retorna ao mesmo lugar angular: o periélio avançou em relação à volta de
de
Substituindo
obtemos a expressão final do avanço do periélio por revolução:
Uma expansão para pequeno
dá a aproximação útil
o que mostra que o avanço é pequeno e proporcional a
quando o termo extra é pequeno.
Resposta
A órbita tem a forma
com
e
; isto é, é uma elipse (para
) que precessiona.\n
O avanço do periélio por revolução é
O avanço do periélio por revolução é