1.6 Escreva a expressão para a incerteza u(V) do volume.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever a expressão para a incerteza u(V) do volume V.
Informações dadas pelo enunciado: nenhuma outra informação foi enviada (não foi definido qual a expressão de V, nem quais são as grandezas medidas nem suas incertezas).
Observação importante: como o enunciado não especifica a fórmula de V, eu não posso dar uma única expressão numérica específica sem assumir a forma de V. Abaixo eu vou explicar a regra geral para obter u(V) (que vale para qualquer função de várias variáveis) e vou aplicar essa regra em dois casos muito comuns (paralelepípedo retangular e cilindro), mostrando passo a passo como chegar nas fórmulas que você deve usar na prova.

Passo 2

Princípio geral (propagação de incertezas): quando V é uma função de várias grandezas medidas x_1,x_2,\dots,x_n, ou seja
V = V(x_1,x_2,\dots,x_n),
a incerteza padrão combinada u(V) (assumindo que as incertezas das x_i são pequenas e que se pode linearizar a função) é dada pela fórmula de propagação pelo método dos diferenciais (ou “método gaussiano”):
u(V)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}\frac{\partial V}{\partial x_j}\,\mathrm{cov}(x_i,x_j)}.
Explicação dos termos:
  • \;u(V)\; é a incerteza padrão do volume que queremos calcular.
  • \;\frac{\partial V}{\partial x_i}\; é a derivada parcial de V em relação à variável x_i (mostra quanto V varia quando x_i varia um pouco, mantendo as outras fixas).
  • \;\mathrm{cov}(x_i,x_j)\; é a covariância entre x_i e x_j. Para i=j temos \mathrm{cov}(x_i,x_i)=u(x_i)^2, que é a variância de x_i.

Passo 3

Caso usual e mais simples (assumindo que as medições são independentes): se as grandezas medidas x_i são estatisticamente independentes, então \mathrm{cov}(x_i,x_j)=0 para i\ne j e a expressão acima simplifica para
u(V)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\,u(x_i)\right)^2}.
Isso é o que normalmente se usa em provas quando não há indicação de correlação entre as medidas. Aqui \;u(x_i)\; é a incerteza padrão de x_i.

Passo 4

Como aplicar na prática — dica prática: calcule cada derivada parcial \frac{\partial V}{\partial x_i}, avalie-a nos valores medidos, multiplique por u(x_i), eleve ao quadrado, some tudo e tire raiz quadrada. Sempre cheque se dá para fatorar V e obter uma forma em termos de incertezas relativas (isso simplifica os cálculos).
Agora eu faço dois exemplos completos, bem mastigados, para você aprender o procedimento.

Passo 5

Exemplo 1 — paralelepípedo retangular: suponha
V = lwh,
onde l, w e h são comprimento, largura e altura, com incertezas u(l), u(w), u(h). Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial V}{\partial l}=wh,\qquad \frac{\partial V}{\partial w}=lh,\qquad \frac{\partial V}{\partial h}=lw.
Plugando na fórmula de variância (assumindo independência):
u(V)=\sqrt{(wh\,u(l))^2+(lh\,u(w))^2+(lw\,u(h))^2}.
Agora fatoramos V=lwh para escrever em termos relativos: observe que wh = V/l, lh = V/w, lw = V/h. Substituindo e colocando V em evidência:
u(V)=V\sqrt{\left(\frac{u(l)}{l}\right)^2+\left(\frac{u(w)}{w}\right)^2+\left(\frac{u(h)}{h}\right)^2}.
Interpretação rápida: as incertezas relativas somam-se em quadratura quando a função é produto simples.

Passo 6

Exemplo 2 — cilindro: suponha
V=\pi r^2 h,
onde r é o raio e h a altura, com incertezas u(r) e u(h). As derivadas parciais são:
\frac{\partial V}{\partial r}=2\pi r h,\qquad \frac{\partial V}{\partial h}=\pi r^2.
Assumindo independência entre r e h, a fórmula dá
u(V)=\sqrt{(2\pi r h\,u(r))^2+(\pi r^2\,u(h))^2}.
Fatorando V=\pi r^2 h para escrever em termos relativos: note que 2\pi r h = 2V/r e \pi r^2 = V/h. Assim
u(V)=V\sqrt{\left(\frac{2\,u(r)}{r}\right)^2+\left(\frac{u(h)}{h}\right)^2 }.
Isso mostra que o raio contribui com fator 2 na incerteza relativa pois V depende de r^2.

Passo 7

Observação sobre correlações: se x_i e x_j não forem independentes, você deve manter os termos de covariância na fórmula geral. Por exemplo, para o cilindro, a forma completa (sem assumir independência) seria
u(V)^2=(2\pi r h\,u(r))^2+(\pi r^2\,u(h))^2+2\,(2\pi r h)(\pi r^2)\,\mathrm{cov}(r,h).
Muitas provas pedem explicitamente “assuma independência”, então use a versão simplificada. Se tiver correlação e souber o coeficiente de correlação \rho(r,h), lembre que \mathrm{cov}(r,h)=\rho(r,h)\,u(r)\,u(h).

Passo 8

Resumo prático e dica de prova: identifique a fórmula de V, calcule \partial V/\partial x_i para cada medida, substitua os valores e as incertezas, e use
u(V)=\sqrt{\sum_i\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\,u(x_i)\right)^2}
se as medidas são independentes. Sempre verifique se dá para expressar a fórmula em termos relativos (fatorando V), porque isso costuma simplificar a conta durante a prova.

Resposta

u(V)=\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\,u(x_i)\right)^2}
\text{(paralelepípedo)}\quad u(V)=V\sqrt{\left(\frac{u(l)}{l}\right)^2+\left(\frac{u(w)}{w}\right)^2+\left(\frac{u(h)}{h}\right)^2}í
\text{(cilindro)}\quad u(V)=V\sqrt{\left(\frac{2\,u(r)}{r}\right)^2+\left(\frac{u(h)}{h}\right)^2}

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