Calcule os volumes dos sólidos conforme descritos a seguir.
Sólido limitado acima por z=4-y^2-x^24 e abaixo pelo cilindro circular reto (y-1)^2+x^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies: acima, por $ z = 4 - y^2 - \frac{x^2}{4} $ e abaixo, por um cilindro circular reto dado por $ (y-1)^2 + x^2 = 1 $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, já que estamos trabalhando com áreas no plano xy.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de base desse sólido. O cilindro $ (y-1)^2 + x^2 = 1 $ é basicamente um círculo de raio 1 no plano xy, mas deslocado para cima no eixo y, centrado em (0,1). Isso significa que a base do sólido é um círculo com raio 1 e centro em (0,1).

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para x e y. No eixo y, o círculo vai de y = 0 até y = 2. Para cada valor de y nesse intervalo, o valor de x vai de $ -\sqrt{1 - (y - 1)^2} $ até $ \sqrt{1 - (y - 1)^2} $. Esses são os limites para movermos horizontalmente dentro do círculo.

Passo 4

A função que dá a altura do sólido é $ z = 4 - y^2 - \frac{x^2}{4} $. Isso significa que para cada ponto (x, y) na base, o z vai até esse valor. Então, o volume total vai ser a integral dessa função sobre toda a região da base.

Passo 5

Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A integral interna será em relação a x, e a externa em relação a y:
V = integraly=0^2 integralx=-raiz1 - (y-1)^2^raiz1 - (y-1)^2 (4 - y^2 - x^24) dx , dy

Passo 6

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a x. Vamos integrar termo a termo:
integral (4 - y^2 - x^24) dx = (4 - y^2)x - x^312

Passo 7

Aplicando os limites de integração para x:
[ (4 - y^2)x - x^312 ]x=-raiz1 - (y-1)^2^raiz1 - (y-1)^2
Devido à simetria da região, isso simplifica para:
2 (4 - y^2)raiz1 - (y-1)^2 - 2(1 - (y-1)^2)^3/212

Passo 8

Simplificando a expressão acima:
2 (4 - y^2)raiz1 - (y-1)^2 - (1 - (y-1)^2)^3/26

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y, de 0 a 2:
V = integral0^2 [ 2 (4 - y^2)raiz1 - (y-1)^2 - (1 - (y-1)^2)^3/26 ] dy

Passo 10

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição u = y - 1, que simplifica os limites e a expressão da raiz. Após resolver a integral, obteremos o valor do volume.

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{16\pi}{3} $ unidades cúbicas.

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