Calcule os volumes dos sólidos conforme descritos a seguir.
Sólido limitado acima por
e abaixo pelo cilindro circular reto
.
Sólido limitado acima por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é limitado por duas superfícies: acima, por $ z = 4 - y^2 - \frac{x^2}{4} $ e abaixo, por um cilindro circular reto dado por $ (y-1)^2 + x^2 = 1 $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, já que estamos trabalhando com áreas no plano xy.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de base desse sólido. O cilindro $ (y-1)^2 + x^2 = 1 $ é basicamente um círculo de raio 1 no plano xy, mas deslocado para cima no eixo y, centrado em (0,1). Isso significa que a base do sólido é um círculo com raio 1 e centro em (0,1).
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para x e y. No eixo y, o círculo vai de y = 0 até y = 2. Para cada valor de y nesse intervalo, o valor de x vai de $ -\sqrt{1 - (y - 1)^2} $ até $ \sqrt{1 - (y - 1)^2} $. Esses são os limites para movermos horizontalmente dentro do círculo.
Passo 4
A função que dá a altura do sólido é $ z = 4 - y^2 - \frac{x^2}{4} $. Isso significa que para cada ponto (x, y) na base, o z vai até esse valor. Então, o volume total vai ser a integral dessa função sobre toda a região da base.
Passo 5
Vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A integral interna será em relação a x, e a externa em relação a y:
Passo 6
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a x. Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Aplicando os limites de integração para x:
Devido à simetria da região, isso simplifica para:
Passo 8
Simplificando a expressão acima:
Passo 9
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a y, de 0 a 2:
Passo 10
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição u = y - 1, que simplifica os limites e a expressão da raiz. Após resolver a integral, obteremos o valor do volume.
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{16\pi}{3} $ unidades cúbicas.