Determine (se existir) todos os pontos de descontinuidade de f.
Passo 1
Resumo do enunciado e do conteúdo: Precisamos estudar a continuidade da função definida por partes
f(x)=⎧⎩⎨6√[3]{9−x²}, se x<−1; x³+3x²+4x+14, se −1≤x<1; 5x²/2+7x/3+103/6, se x≥1.
Esse é um tema de continuidade de funções definidas por partes: vamos analisar as regiões internas e os pontos de “troca” (x=−1 e x=1).
Passo 2
Continuidade nas regiões internas: Cada trecho é composto por funções contínuas (radical e polinômios). Logo, em (−∞,−1), (−1,1) e (1,∞) f é contínua automaticamente.
Passo 3
Verificação em x=−1: vamos comparar o limite à esquerda, o limite à direita e o valor f(−1).
Para calcular lim_{x→−1^-}f(x):
limxto -1^-f(x)=6raiz[3]9-(-1)^2=6raiz[3]8=12
Para calcular lim_{x→−1^+}f(x):
limxto -1^+f(x)=(-1)^3+3(-1)^2+4(-1)+14=12
E o valor no ponto é
f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2+4(-1)+14=12
Como os três são iguais, f é contínua em x=−1.
Passo 4
Verificação em x=1: vamos comparar o limite à esquerda, o limite à direita e o valor f(1).
Para calcular lim_{x→1^-}f(x):