Seja f a função definida por
f(x)=cl 6 raiz[3]9-x^2, & se x<-1 x^3+3 x^2+4 x+14, & se -1 <= x<1 5 x^22+7 x3+1036, & se x >= 1
Determine (se existir) todos os pontos de descontinuidade de f.

Passo 1

Resumo do enunciado e do conteúdo: Precisamos estudar a continuidade da função definida por partes
f(x)=⎧⎩⎨6√[3]{9−x²}, se x<−1; x³+3x²+4x+14, se −1≤x<1; 5x²/2+7x/3+103/6, se x≥1.
Esse é um tema de continuidade de funções definidas por partes: vamos analisar as regiões internas e os pontos de “troca” (x=−1 e x=1).

Passo 2

Continuidade nas regiões internas: Cada trecho é composto por funções contínuas (radical e polinômios). Logo, em (−∞,−1), (−1,1) e (1,∞) f é contínua automaticamente.

Passo 3

Verificação em x=−1: vamos comparar o limite à esquerda, o limite à direita e o valor f(−1).
Para calcular lim⁡_{x→−1^-}f(x):
limxto -1^-f(x)=6raiz[3]9-(-1)^2=6raiz[3]8=12
Para calcular lim⁡_{x→−1^+}f(x):
limxto -1^+f(x)=(-1)^3+3(-1)^2+4(-1)+14=12
E o valor no ponto é
f(-1)=(-1)^3+3(-1)^2+4(-1)+14=12
Como os três são iguais, f é contínua em x=−1.

Passo 4

Verificação em x=1: vamos comparar o limite à esquerda, o limite à direita e o valor f(1).
Para calcular lim⁡_{x→1^-}f(x):
limxto 1^-f(x)=1^3+3·1^2+4·1+14=22
Para calcular lim⁡_{x→1^+}f(x):
limxto 1^+f(x)=5·1^22+7·13+1036=15+14+1036=1326=22
E o valor no ponto é
f(1)=5·1^22+7·13+1036=22
Como todos são iguais, f é contínua em x=1.

Resposta

A função não apresenta nenhum ponto de descontinuidade; é contínua em todo R.

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