Calcule o volune do sólido gerado pela rotaçâo em torno do eixo x
Da regiáo entre as curvas y=x^3 e y=x com x in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região entre as curvas e no intervalo de entre 0 e 1 é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas. Temos e . No intervalo de 0 a 1, a curva está acima da . Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 1, a distância entre as duas curvas será a altura do nosso “disco”.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a fórmula do método dos discos para calcular o volume quando o sólido é gerado pela rotação em torno do eixo V = pi integrala^b [f(x)]^2 - [g(x)]^2 , dx :
Aqui, é a função de cima ( ) e é a função de baixo ( ). Os limites de integração são de a .

Passo 4

Vamos substituir as funções na fórmula:
V = pi integral0^1 (x)^2 - (x^3)^2 , dx
Simplificando as potências:
V = pi integral0^1 x^2 - x^6 , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral x^2 , dx = x^33
integral x^6 , dx = x^77
Então, substituindo na integral:
V = pi [ x^33 - x^77 ]0^1

Passo 6

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para 1^33 - 1^77 = 13 - 17 :
0^33 - 0^77 = 0 - 0 = 0
Para V = pi ( ( 13 - 17 ) - 0 ) = pi ( 13 - 17 ) :
Então,

Passo 7

Vamos calcular a diferença:
13 - 17 = 7 - 321 = 421
Portanto,
V = pi cdot 421 = 4pi21

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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