Calcule o volune do sólido gerado pela rotaçâo em torno do eixo
Da regiáo entre as curvas
e
com
.
Da regiáo entre as curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região entre as curvas
e
no intervalo de
entre 0 e 1 é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas. Temos
e
. No intervalo de 0 a 1, a curva
está acima da
. Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e 1, a distância entre as duas curvas será a altura do nosso “disco”.
Passo 3
Agora, vamos lembrar a fórmula do método dos discos para calcular o volume quando o sólido é gerado pela rotação em torno do eixo
:
Aqui,
é a função de cima (
) e
é a função de baixo (
). Os limites de integração são de
a
.
Passo 4
Vamos substituir as funções na fórmula:
Simplificando as potências:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, substituindo na integral:
Passo 6
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Então,
Passo 7
Vamos calcular a diferença:
Portanto,
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.