Representar graficamente o conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem as condições abaixo.
r=3 theta e theta >= 0 (Espiral de Archimedes)

Passo 1

O enunciado pede pra desenhar em coordenadas polares o conjunto de pontos que satisfazem r=3theta para theta>=0. Isso é justamente a espiral de Arquimedes, um tema de curvas em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, a explicação teórica é que r é a distância ao polo e theta o ângulo. A equação r=3theta significa que, à medida que rotacionamos ( theta cresce), a distância ao polo aumenta linearmente.

Passo 3

Para visualizar melhor, podemos converter pra coordenadas cartesianas usando x=rcostheta e y=rsintheta. Assim
x(theta)=3thetacostheta,
y(theta)=3thetasintheta,
com theta>=0. Essa forma paramétrica ajuda a gerar pontos no plano.

Passo 4

Podemos tomar alguns valores de theta e calcular (x,y), por exemplo:
  • theta=0: (0,0)
  • theta=pi/2: r=3pi/2, (x,y)=l(0,tfrac3pi2r)
  • theta=pi: r=3pi, (x,y)=l(-3pi,0r)
  • theta=3pi/2: r=tfrac9pi2, (x,y)=l(0,-tfrac9pi2r)
  • theta=2pi: r=6pi, (x,y)=l(6pi,0r)

Passo 5

Ligando esses pontos e lembrando que a curva varia suavemente, obtemos uma espiral que parte do polo e se afasta à razão de 3 unidades de comprimento por radiano de ângulo.
O esboço final é a espiral de Arquimedes aberta para fora, com cada volta ficando 3times2pi=6pi unidades mais distante do polo.

Resposta

A curva é a espiral de Arquimedes em coordenadas polares, definida por r=3theta, theta>=0: uma espiral que parte do polo e se afasta linearmente, completando voltas de distância radial constante de 6\pi entre elas.

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