Se v(t)=|r(t) times r^prime(t)| neq 0, use as propriedades da derivada para mostrar que
v^prime(t)=(r times r^prime) cdot(r times r^prime)|r times r^prime|

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial v(t) = |r(t) times r'(t)| e sua derivada v'(t) = (r times r') cdot (r times r')|r times r'| . Definimos como o módulo do produto vetorial entre e , ou seja:
A questão quer que usemos as propriedades da derivada para mostrar que:
Vamos precisar entender como derivar expressões que envolvem produto vetorial e módulo de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o módulo de um vetor |A| = raizA cdot A é dado por:
v(t) = raiz(r times r') cdot (r times r')
No nosso caso, , então podemos escrever:
Isso vai nos ajudar a derivar .

Passo 3

Agora, vamos derivar v'(t) = 12raizf(t) cdot f'(t) em relação a v'(t) = 12raiz(r times r') cdot (r times r') cdot ddt[(r times r') cdot (r times r')] . Usaremos a regra da cadeia para derivar a função raiz quadrada. Se temos , então:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora precisamos calcular a derivada de ddt (A cdot A) = 2 A cdot A' . Vamos usar a regra do produto:
ddt (A cdot A) = 2 (r times r') cdot (r times r')'
Aqui, , então:

Passo 5

Precisamos agora calcular (u times v)' = u' times v + u times v' . Para isso, usamos a regra do produto para derivadas de produto vetorial:
(r times r')' = r' times r' + r times r''
Aplicando isso a (r times r')' = r times r'' :
Note que (produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero), então:

Passo 6

Voltando à nossa expressão para v'(t) = 12|r times r'| cdot 2 (r times r') cdot (r times r'') :
v'(t) = (r times r') cdot (r times r'')|r times r'|
Os 2 se cancelam:

Passo 7

No entanto, observando a expressão que queremos obter:
v'(t) = (r times r') cdot (r times r')|r times r'|
Parece que há uma diferença, já que no passo anterior temos v'(t) = (r times r') cdot (r times r'')|r times r'| em vez de . Isso sugere que podemos ter interpretado algo errado ou a expressão original pode estar incompleta. Contudo, seguindo os passos corretamente, chegamos a:
Pode ser que a expressão desejada na questão tenha um erro. De qualquer forma, essa é a forma correta da derivada.

Resposta

A derivada de v'(t) = (r times r') cdot (r times r'')|r times r'| é:

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