Verifique que wx y=wy x :
w=x^3 e^-2 y+y^-2 cos x
R.: wx y=wy x=-6 x^2 e^-2 y+2 y^-3 sin x

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis w(x,y)=x^3e^-2y+y^-2cos x e pede para verificar que as derivadas parciais mistas wxy e wyx são iguais. Vamos usar as regras de derivação parcial e o Teorema de Clairaut (continuidade das derivadas).

Passo 2

Derivamos primeiro em relação a x, tratando y como constante. A derivada de x^3e^-2y em relação a x é 3x^2e^-2y, e a de y^-2cos x é -y^-2sin x. Assim:
wx=3x^2e^-2y-y^-2sin x

Passo 3

Agora derivamos wx em relação a y. Para 3x^2e^-2y temos derivada 3x^2cdot(-2)e^-2y=-6x^2e^-2y. Para -y^-2sin x temos derivada -(-2y^-3)sin x=2y^-3sin x. Logo:
wxy=-6x^2e^-2y+2y^-3sin x

Passo 4

Agora derivamos w em relação a y, tratando x como constante. A derivada de x^3e^-2y é -2x^3e^-2y e de y^-2cos x é -2y^-3cos x. Assim:
wy=-2x^3e^-2y-2y^-3cos x

Passo 5

Por fim, derivamos wy em relação a x. A derivada de -2x^3e^-2y) é -6x^2e^-2y e de -2y^-3cos x é -2y^-3)(-sin x)=2y^-3sin x. Logo:
wyx=-6x^2e^-2y+2y^-3sin x

Passo 6

Comparando, vemos que wxy=wyx, como queríamos demonstrar.

Resposta

wxy=wyx=-6x^2e^-2y+2y^-3sin x

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