O enunciado pede para calcular w=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}i\right)^{25}.
Informações dadas:
A base é o número complexo \dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}i.
É preciso elevar essa base à potência 25.
O que vamos fazer: transformar o número complexo da base em forma polar (módulo e argumento) e usar a fórmula de De Moivre para elevar à potência. Não vou resolver nada ainda, apenas organizei o que o problema pede e o que temos.
Para um complexo z=x+iy, o módulo é \lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Isso mede “o comprimento” do número no plano.
O argumento \theta satisfaz \cos\theta=\dfrac{x}{\lvert z\rvert} e \sin\theta=\dfrac{y}{\lvert z\rvert}. Pode-se também escrever \theta=\operatorname{atan2}(y,x) para tratar quadrantes corretamente.
A forma polar (ou trigonométrica) é z=\lvert z\rvert(\cos\theta+i\sin\theta).
Essa é uma resposta exata e prática para usar na prova: o módulo explícito e o argumento em termos de \arctan 2. Converter para a forma cartesiana a+ib exigiria calcular \cos(25\arctan 2) e \sin(25\arctan 2), o que dá números complicados; normalmente em provas a forma polar com De Moivre é aceita como resultado exato.