Calcule w=\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3} i\right)^{25}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular w=\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}i\right)^{25}.
Informações dadas:
  • A base é o número complexo \dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}i.
  • É preciso elevar essa base à potência 25.
O que vamos fazer: transformar o número complexo da base em forma polar (módulo e argumento) e usar a fórmula de De Moivre para elevar à potência. Não vou resolver nada ainda, apenas organizei o que o problema pede e o que temos.

Passo 2

Relembrando conceitos (explicação didática curta):
  • Para um complexo z=x+iy, o módulo é \lvert z\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Isso mede “o comprimento” do número no plano.
  • O argumento \theta satisfaz \cos\theta=\dfrac{x}{\lvert z\rvert} e \sin\theta=\dfrac{y}{\lvert z\rvert}. Pode-se também escrever \theta=\operatorname{atan2}(y,x) para tratar quadrantes corretamente.
  • A forma polar (ou trigonométrica) é z=\lvert z\rvert(\cos\theta+i\sin\theta).
  • Fórmula de De Moivre: para inteiro n,
\bigl(\lvert z\rvert(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^n=\lvert z\rvert^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).
Isto é exatamente o que vamos usar: transforma a potência numa potência do módulo e multiplica o argumento por n.

Passo 3

Calcular módulo e argumento da base \dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}i.
Módulo:
\left\lvert \frac{1}{3}-\frac{2}{3}i\right\rvert =\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{1+4}{9}} =\sqrt{\frac{5}{9}} =\frac{\sqrt{5}}{3}.
Argumento \theta: as componentes são x=\dfrac{1}{3} e y=-\dfrac{2}{3}, então a tangente do ângulo é
\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{-\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}}=-2.
Portanto tomamos
\theta=\operatorname{atan2}\!\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)=-\arctan 2.
Também podemos escrever os cosseno e seno diretamente:
\cos\theta=\frac{x}{\lvert z\rvert}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{5}},\qquad \sin\theta=\frac{y}{\lvert z\rvert}=\frac{-\tfrac{2}{3}}{\tfrac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}.
Assim a base em forma polar é
\frac{1}{3}-\frac{2}{3}i=\frac{\sqrt{5}}{3}\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr), \qquad \theta=-\arctan 2.

Passo 4

Aplicar De Moivre para potência 25:
w=\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}i\right)^{25} =\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{25}\bigl(\cos(25\theta)+i\sin(25\theta)\bigr).
Calcular a potência do módulo explicitamente:
\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{25} =\frac{(\sqrt{5})^{25}}{3^{25}} =\frac{5^{25/2}}{3^{25}} =\frac{5^{12}\sqrt{5}}{3^{25}}.
Substituindo \theta=-\arctan 2 e usando \cos(-x)=\cos x, \sin(-x)=-\sin x, obtemos uma forma com ângulo positivo:
\cos(25\theta)+i\sin(25\theta) =\cos\bigl(-25\arctan 2\bigr)+i\sin\bigl(-25\arctan 2\bigr) =\cos\bigl(25\arctan 2\bigr)-i\sin\bigl(25\arctan 2\bigr).

Passo 5

Juntando tudo, uma forma limpa e exata para w é
w=\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{25}\Bigl(\cos\bigl(25\arctan 2\bigr)-i\sin\bigl(25\arctan 2\bigr)\Bigr),
ou, mostrando o módulo simplificado,
w=\frac{5^{12}\sqrt{5}}{3^{25}}\Bigl(\cos\bigl(25\arctan 2\bigr)-i\sin\bigl(25\arctan 2\bigr)\Bigr).
Essa é uma resposta exata e prática para usar na prova: o módulo explícito e o argumento em termos de \arctan 2. Converter para a forma cartesiana a+ib exigiria calcular \cos(25\arctan 2) e \sin(25\arctan 2), o que dá números complicados; normalmente em provas a forma polar com De Moivre é aceita como resultado exato.

Resposta

w=\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^{25}\Bigl(\cos\bigl(25\arctan 2\bigr)-i\sin\bigl(25\arctan 2\bigr)\Bigr)

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