Dado
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para determinar
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Módulo de
: . - Argumento de
: . - Objetivo: calcular
e (potências de um número complexo em forma polar), somá-las e subtrair .
Passo 2
Escolha do método e ferramenta principal (explicação didática).
- Como
está em forma polar , a maneira mais direta é usar o Teorema de De Moivre. Ele diz que, para , e inteiro ,
Explicando: aqui
é o módulo (distância ao origem) e
é o argumento (o ângulo). Ele permite elevar um número complexo em forma polar simplesmente elevando o módulo e multiplicando o ângulo por
. Isso evita ficar fazendo multiplicação complicada em forma retangular.
- Vamos aplicar De Moivre com
e .
Passo 3
Calcular as potências do módulo e os ângulos multiplicados.
-
. Então
- Ângulos:
Passo 4
Aplicar De Moivre para escrever
e
em forma polar e depois em forma retangular (usando cosseno e seno).
- Pela fórmula,
Explicação do passo: para somar números complexos é mais conveniente escrevê-los como
, por isso convertemos com cosseno e seno.
Passo 5
Valores trigonométricos exatos e formas úteis.
- Valores conhecidos:
- Fórmulas para
(derivadas de e ):
Podemos usar essas formas exatas se quisermos expressão algébrica; aqui vamos calcular aproximado decimal para somar facilmente.
Passo 6
Calcular as componentes reais e imaginárias de
e
(contas detalhadas).
- Para
:
Cálculo numérico (detalhado):
- Para
:
Usando
e
,
(As multiplicações foram feitas detalhadamente: por exemplo
etc.)
Passo 7
Somar as componentes, subtrair
e escrever o resultado final em forma retangular.
- Soma das partes reais (e subtração de
):
- Soma das partes imaginárias:
- Portanto, em forma retangular:
Passo 8
Observações finais e arredondamento para resposta prática.
- Para a prova, normalmente basta dar
com algumas casas decimais. Arredondando a seis casas decimais, por exemplo: