Dado z=1,3 e^{i 125^{\circ}}, determine w=z^{6}+z^{3}-1.

Passo 1

O enunciado dá a informação
z = 1,3\,e^{i125^\circ}
e pede para determinar
w = z^{6} + z^{3} - 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Módulo de z: r=1,3.
  • Argumento de z: \theta=125^\circ.
  • Objetivo: calcular z^{3} e z^{6} (potências de um número complexo em forma polar), somá-las e subtrair 1.

Passo 2

Escolha do método e ferramenta principal (explicação didática).
  • Como z está em forma polar re^{i\theta}, a maneira mais direta é usar o Teorema de De Moivre. Ele diz que, para r>0, \theta\in\mathbb{R} e inteiro n,
(re^{i\theta})^{n} = r^{n} e^{i n\theta}.
Explicando: aqui r é o módulo (distância ao origem) e \theta é o argumento (o ângulo). Ele permite elevar um número complexo em forma polar simplesmente elevando o módulo e multiplicando o ângulo por n. Isso evita ficar fazendo multiplicação complicada em forma retangular.
  • Vamos aplicar De Moivre com n=3 e n=6.

Passo 3

Calcular as potências do módulo e os ângulos multiplicados.
  • r = 1,3 = \dfrac{13}{10}. Então
r^{3} = \left(\dfrac{13}{10}\right)^{3} = \dfrac{2197}{1000} = 2,197,
r^{6} = \left(\dfrac{13}{10}\right)^{6} = \dfrac{4826809}{10^{6}} = 4,826809.
  • Ângulos:
3\theta = 3\cdot125^\circ = 375^\circ = 360^\circ + 15^\circ \Rightarrow \text{equivalente a }15^\circ,
6\theta = 6\cdot125^\circ = 750^\circ = 2\cdot360^\circ + 30^\circ \Rightarrow \text{equivalente a }30^\circ.

Passo 4

Aplicar De Moivre para escrever z^{3} e z^{6} em forma polar e depois em forma retangular (usando cosseno e seno).
  • Pela fórmula,
z^{3} = r^{3} e^{i 15^\circ} = 2,197\big(\cos 15^\circ + i\sin 15^\circ\big),
z^{6} = r^{6} e^{i 30^\circ} = 4,826809\big(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ\big).
Explicação do passo: para somar números complexos é mais conveniente escrevê-los como x+iy, por isso convertemos com cosseno e seno.

Passo 5

Valores trigonométricos exatos e formas úteis.
  • Valores conhecidos:
\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}.
  • Fórmulas para 15^\circ (derivadas de \cos(45^\circ-30^\circ) e \sin(45^\circ-30^\circ)):
\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\quad\text{e}\quad \sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.
Podemos usar essas formas exatas se quisermos expressão algébrica; aqui vamos calcular aproximado decimal para somar facilmente.

Passo 6

Calcular as componentes reais e imaginárias de z^{6} e z^{3} (contas detalhadas).
  • Para z^{6}:
\Re(z^{6}) = 4,826809\cos 30^\circ = 4,826809\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2},
\Im(z^{6}) = 4,826809\sin 30^\circ = 4,826809\cdot\dfrac{1}{2}.
Cálculo numérico (detalhado):
\Im(z^{6}) = 4,826809\cdot 0{,}5 = 2{,}4134045.
\Re(z^{6}) = 4,826809\cdot 0{,}8660254\approx 4{,}180139195.
  • Para z^{3}:
\Re(z^{3}) = 2,197\cos 15^\circ,\qquad \Im(z^{3}) = 2,197\sin 15^\circ.
Usando \cos 15^\circ\approx0{,}965925826 e \sin 15^\circ\approx0{,}258819045,
\Re(z^{3}) \approx 2{,}197\cdot 0{,}965925826 \approx 2{,}122139040,
\Im(z^{3}) \approx 2{,}197\cdot 0{,}258819045 \approx 0{,}568625442.
(As multiplicações foram feitas detalhadamente: por exemplo 2{,}197\cdot0{,}965925826 = 2\cdot0{,}965925826 + 0{,}197\cdot0{,}965925826 etc.)

Passo 7

Somar as componentes, subtrair 1 e escrever o resultado final em forma retangular.
  • Soma das partes reais (e subtração de 1):
\Re(w) = \Re(z^{6}) + \Re(z^{3}) - 1 \approx 4{,}180139195 + 2{,}122139040 - 1 = 5{,}302278235.
  • Soma das partes imaginárias:
\Im(w) = \Im(z^{6}) + \Im(z^{3}) \approx 2{,}4134045 + 0{,}568625442 = 2{,}982029942.
  • Portanto, em forma retangular:
w \approx 5{,}302278235 + 2{,}982029942\,i.

Passo 8

Observações finais e arredondamento para resposta prática.
  • Para a prova, normalmente basta dar w com algumas casas decimais. Arredondando a seis casas decimais, por exemplo:
w \approx 5{,}302278 + 2{,}982030\,i.

Resposta

5{,}302278 + 2{,}982030\,i

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