Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária
ou seja, encontrar a função
que satisfaz essa igualdade para todo
. Informações dadas relevantes:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio
, de grau 2. - Queremos a solução geral
(não foram dadas condições iniciais).
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (a parte sem o termo do lado direito). A equação homogênea é
Para resolver essa equação usamos a equação característica: substituímos
e obtemos
Calculando as raízes:
com multiplicidade 2 (raiz dupla). Quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade 2, as duas soluções independentes são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Vou usar o método das constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados): como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, fazemos uma suposição (ansatz) para
também como um polinômio de grau 2:
onde
são constantes a determinar. Explico por que essa escolha é válida: o método diz que, quando o lado direito é um polinômio de grau
, tentamos uma solução particular polinomial de grau
, multiplicada por
se houver ressonância com as raízes da característica. Aqui o fator exponencial do termo não-homogêneo é
(ou seja,
), e como
não é raiz da característica (a raiz da característica é
), não há ressonância — então não precisamos multiplicar por
. Por isso o ansatz acima é apropriado.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Essas expressões serão substituídas na equação diferencial.
Passo 5
Substituímos
,
e
na expressão da esquerda
:
Agora expandimos e agrupamos termos semelhantes:
Passo 6
Devemos igualar essa expressão ao lado direito
. Ou seja, para todo
,
Igualando coeficientes para cada potência de
, obtemos o sistema:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Substituindo
nas outras duas equações:
Passo 7
Encontramos os coeficientes do polinômio particular:
Portanto
Observação:
, mas podemos deixar na forma polinomial.
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Pronto — essa função satisfaz a equação original para quaisquer constantes
.