Utilize o método de constantes a determinar para resolver:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial ordinária
y'' + 2y' + y = x^{2} - 2,
ou seja, encontrar a função y(x) que satisfaz essa igualdade para todo x. Informações dadas relevantes:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \,x^{2}-2, de grau 2.
  • Queremos a solução geral y(x) (não foram dadas condições iniciais).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (a parte sem o termo do lado direito). A equação homogênea é
y'' + 2y' + y = 0.
Para resolver essa equação usamos a equação característica: substituímos y=e^{rx} e obtemos
r^{2} + 2r + 1 = 0.
Calculando as raízes:
r^{2} + 2r + 1 = (r+1)^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r=-1
com multiplicidade 2 (raiz dupla). Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções independentes são e^{rx} e x e^{rx}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = C_{1} e^{-x} + C_{2} x e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. Vou usar o método das constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados): como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, fazemos uma suposição (ansatz) para y_{p} também como um polinômio de grau 2:
y_{p}(x) = a x^{2} + b x + c,
onde a,b,c são constantes a determinar. Explico por que essa escolha é válida: o método diz que, quando o lado direito é um polinômio de grau n, tentamos uma solução particular polinomial de grau n, multiplicada por x^{s} se houver ressonância com as raízes da característica. Aqui o fator exponencial do termo não-homogêneo é e^{0x} (ou seja, r=0), e como r=0 não é raiz da característica (a raiz da característica é -1), não há ressonância — então não precisamos multiplicar por x. Por isso o ansatz acima é apropriado.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x) = 2a x + b,
y_{p}''(x) = 2a.
Essas expressões serão substituídas na equação diferencial.

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na expressão da esquerda y''+2y'+y:
y_{p}'' + 2y_{p}' + y_{p} = 2a + 2(2a x + b) + (a x^{2} + b x + c).
Agora expandimos e agrupamos termos semelhantes:
2a + 4a x + 2b + a x^{2} + b x + c = a x^{2} + (4a + b)x + (2a + 2b + c).

Passo 6

Devemos igualar essa expressão ao lado direito x^{2} - 2. Ou seja, para todo x,
a x^{2} + (4a + b)x + (2a + 2b + c) = x^{2} + 0\cdot x + (-2).
Igualando coeficientes para cada potência de x, obtemos o sistema:
  • Coeficiente de x^{2}: a = 1.
  • Coeficiente de x: 4a + b = 0.
  • Termo constante: 2a + 2b + c = -2.
Substituindo a=1 nas outras duas equações:
  • 4\cdot 1 + b = 0 \Rightarrow b = -4.
  • 2\cdot 1 + 2(-4) + c = -2 \Rightarrow 2 - 8 + c = -2 \Rightarrow -6 + c = -2 \Rightarrow c = 4.

Passo 7

Encontramos os coeficientes do polinômio particular:
a=1,\quad b=-4,\quad c=4.
Portanto
y_{p}(x) = x^{2} - 4x + 4.
Observação: x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}, mas podemos deixar na forma polinomial.

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1} e^{-x} + C_{2} x e^{-x} + x^{2} - 4x + 4.
Pronto — essa função satisfaz a equação original para quaisquer constantes C_{1},C_{2}.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}x e^{-x}+x^{2}-4x+4

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