Um corpo de massa m está preso a uma mola não-linear, cuja força restauradora é dada por
m \frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=-k x+\alpha x^{3}
onde k>0 e \alpha>0.
O corpo é deslocado ligeiramente da posição de equilíbrio x=0. Mostre que, para pequenos deslocamentos, a equação do movimento pode ser aproximada por um movimento harmônico simples usando a expansão em polinômios de Taylor.

Passo 1

O enunciado dá a equação de movimento não‐linear
m \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} = -k\,x + \alpha\,x^{3},
com k>0 e \alpha>0. Queremos mostrar que, para pequenas oscilações em torno de x=0, esse movimento se reduz a um movimento harmônico simples, usando expansão de Taylor.

Passo 2

Primeiro reorganizamos a equação em forma padrão:
\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + \frac{k}{m}\,x = \frac{\alpha}{m}\,x^{3}.

Passo 3

Definimos a força restauradora
F(x) = -k\,x + \alpha\,x^{3}.
Expandimos F(x) em série de Taylor em torno de x=0. Calculamos as derivadas em x=0:
F(0)=0,\quad F'(x)=-k+3\alpha\,x^{2}\;\Rightarrow\;F'(0)=-k,\quad F''(0)=0,\quad F'''(0)=6\alpha.
Logo, até primeira ordem em x,
F(x)\approx F(0) + F'(0)\,x = -k\,x.

Passo 4

Substituindo essa aproximação na equação de movimento, obtemos
m\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} \approx -k\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + \frac{k}{m}\,x = 0,
que é a equação do movimento harmônico simples.

Passo 5

A solução geral dessa equação é
x(t) = A\cos\bigl(\omega t + \varphi\bigr),
com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.

Resposta

Para deslocamentos pequenos, a equação de movimento se aproxima de
\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + \frac{k}{m}\,x = 0,
ou seja, caracteriza um movimento harmônico simples de frequência \omega=\sqrt{k/m}.
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