Um corpo de massa
está preso a uma mola não-linear, cuja força restauradora é dada por
onde
e
.
O corpo é deslocado ligeiramente da posição de equilíbrio
. Mostre que, para pequenos deslocamentos, a equação do movimento pode ser aproximada por um movimento harmônico simples usando a expansão em polinômios de Taylor.
O corpo é deslocado ligeiramente da posição de equilíbrio
Passo 1
O enunciado dá a equação de movimento não‐linear
com
e
. Queremos mostrar que, para pequenas oscilações em torno de
, esse movimento se reduz a um movimento harmônico simples, usando expansão de Taylor.
Passo 2
Primeiro reorganizamos a equação em forma padrão:
Passo 3
Definimos a força restauradora
Expandimos
em série de Taylor em torno de
. Calculamos as derivadas em
:
Logo, até primeira ordem em
,
Passo 4
Substituindo essa aproximação na equação de movimento, obtemos
que é a equação do movimento harmônico simples.
Passo 5
A solução geral dessa equação é
com frequência angular
Resposta
Para deslocamentos pequenos, a equação de movimento se aproxima de
ou seja, caracteriza um movimento harmônico simples de frequência
.
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