Calcule o wronskiano das seguintes funções:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular o wronskiano de duas funções: $ e^{ax} \cos bx $ e $ e^{ax} \sin bx $. O wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a entender se essas funções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e aplicar a fórmula do wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. Para duas funções $ y_1 $ e $ y_2 $, o wronskiano $ W(y_1, y_2) $ é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de $ y_1 $ e $ y_2 $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y_1 = e^{ax} \cos bx $. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ y_2 = e^{ax} \sin bx $:
Passo 5
Com as derivadas em mãos, aplicamos a fórmula do wronskiano:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Note que os termos com $ a e^{2ax} \cos bx \sin bx $ se cancelam:
Passo 7
Sabemos que $ \cos^2 bx + \sin^2 bx = 1 $. Então:
Resposta
O wronskiano das funções $ e^{ax} \cos bx $ e $ e^{ax} \sin bx $ é: