Calcule o wronskiano das seguintes funções:
e^ax cos bx, e^ax sen bx

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para calcular o wronskiano de duas funções: $ e^{ax} \cos bx $ e $ e^{ax} \sin bx $. O wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a entender se essas funções são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas dessas funções e aplicar a fórmula do wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o wronskiano. Para duas funções $ y_1 $ e $ y_2 $, o wronskiano $ W(y_1, y_2) $ é dado por:
y1
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de $ y_1 $ e $ y_2 $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y_1 = e^{ax} \cos bx $. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
y1 = e^ax cos bx

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de $ y_2 = e^{ax} \sin bx $:
y2 = e^ax sin bx

Passo 5

Com as derivadas em mãos, aplicamos a fórmula do wronskiano:
W(y1, y2) = y1 y2' - y2 y1'
Substituindo os valores:
W = (e^ax cos bx)(a e^ax sin bx + b e^ax cos bx) - (e^ax sin bx)(a e^ax cos bx - b e^ax sin bx)

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
W = a e^2ax cos bx sin bx + b e^2ax cos^2 bx - a e^2ax sin bx cos bx + b e^2ax sin^2 bx
Note que os termos com $ a e^{2ax} \cos bx \sin bx $ se cancelam:
a e^2ax cos bx sin bx

Passo 7

Sabemos que $ \cos^2 bx + \sin^2 bx = 1 $. Então:
cos^2 bx + sin^2 bx = 1

Resposta

O wronskiano das funções $ e^{ax} \cos bx $ e $ e^{ax} \sin bx $ é:
e^ax cos bx

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