As oscilações de um corpo ligado a uma mola são governadas pela equação:
m ddoty+lambda doty+k y=F(t),
onde m é a massa do corpo, lambda a constante de amortecimento, k o módulo de elasticidade da mola e F(t) uma força externa aplicada. Admitindo que:
F(t)=F0 sen(omega t),
determine a solução geral da equação.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata das oscilações de um corpo preso a uma mola, modeladas por uma equação diferencial. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação quando uma força externa, que varia no tempo como seno, é aplicada. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aprender a encontrar tanto a solução homogênea quanto a particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
m ddoty + lambda doty + k y = F(t)
Sabemos que $ F(t) = F_0 \sin(\omega t) $, então substituindo:
F(t) = F0 sin(omega t)

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde $ F(t) = 0 $) e uma solução particular (que considera a força externa).

Passo 4

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
m ddoty + lambda doty + k y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação será baseada nas raízes da equação característica.

Passo 5

A equação característica é dada por:
m r^2 + lambda r + k = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para $ r $:
r

Passo 6

Dependendo do discriminante $ \Delta = \lambda^2 - 4 m k $, teremos diferentes tipos de soluções:
  • Se $ \Delta > 0 $: duas raízes reais e distintas.
  • Se $ \Delta = 0 $: duas raízes reais iguais.
  • Se $ \Delta < 0 $: raízes complexas conjugadas.
Isso afetará a forma da solução homogênea.

Passo 7

Assumindo que $ \Delta < 0 $ (o caso mais comum em sistemas amortecidos), as raízes serão complexas:
De
onde:
r = alpha pm i beta

Passo 8

Nesse caso, a solução homogênea será:
yh(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 9

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa. Como o lado direito é $ F_0 \sin(\omega t) $, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
yp(t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos determinar.

Passo 10

Derivando $ y_p(t) $:
yp(t)
dotyp(t) = A omega cos(omega t) - B omega sin(omega t)

Passo 11

Substituindo $ y_p(t) $ e suas derivadas na equação original:
yp(t)

Passo 12

Agrupando os termos senoidais e cossenoidais:
( -m A omega^2 + k A - lambda B omega ) sin(omega t) + ( -m B omega^2 + k B + lambda A omega ) cos(omega t) = F0 sin(omega t)

Passo 13

Para que essa igualdade seja válida para todo $ t $, os coeficientes de $ \sin(\omega t) $ e $ \cos(\omega t) $ devem ser iguais nos dois lados:
t
sin(omega t)

Passo 14

Agora, temos um sistema de equações lineares para $ A $ e $ B $:
  1. $ A (k - m \omega^2) - \lambda \omega B = F_0 $
  2. $ \lambda \omega A + B (k - m \omega^2) = 0 $
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ A $ e $ B $.

Passo 15

Resolvendo a segunda equação para $ B $:
B

Passo 16

Substituindo $ B $ na primeira equação:
B
Simplificando:
A (k - m omega^2) - lambda omega ( - lambda omegak - m omega^2 A ) = F0

Passo 17

Fatorando $ A $:
A
Multiplicando ambos os lados por $ k - m \omega^2 $:
A ( k - m omega^2 + lambda^2 omega^2k - m omega^2 ) = F0

Passo 18

Isolando $ A $:
A

Passo 19

Agora, substituindo $ A $ de volta na expressão para $ B $:
A

Passo 20

Portanto, a solução particular é:
yp(t) = F0 (k - m omega^2)(k - m omega^2)^2 + lambda^2 omega^2 sin(omega t) - lambda omega F0(k - m omega^2)^2 + lambda^2 omega^2 cos(omega t)

Resposta

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = e^-lambda2 m t ( C1 cos( raiz4 m k - lambda^22 m t ) + C2 sin( raiz4 m k - lambda^22 m t ) ) + F0 (k - m omega^2)(k - m omega^2)^2 + lambda^2 omega^2 sin(omega t) - lambda omega F0(k - m omega^2)^2 + lambda^2 omega^2 cos(omega t)

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