As oscilações de um corpo ligado a uma mola são governadas pela equação:
,
onde
é a massa do corpo,
a constante de amortecimento,
o módulo de elasticidade da mola e
uma força externa aplicada. Admitindo que:
,
determine a solução geral da equação.
onde
determine a solução geral da equação.
Passo 1
Vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata das oscilações de um corpo preso a uma mola, modeladas por uma equação diferencial. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação quando uma força externa, que varia no tempo como seno, é aplicada. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aprender a encontrar tanto a solução homogênea quanto a particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada:
Sabemos que $ F(t) = F_0 \sin(\omega t) $, então substituindo:
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (onde $ F(t) = 0 $) e uma solução particular (que considera a força externa).
Passo 4
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação será baseada nas raízes da equação característica.
Passo 5
A equação característica é dada por:
Vamos resolver essa equação quadrática para $ r $:
Passo 6
Dependendo do discriminante $ \Delta = \lambda^2 - 4 m k $, teremos diferentes tipos de soluções:
- Se $ \Delta > 0 $: duas raízes reais e distintas.
- Se $ \Delta = 0 $: duas raízes reais iguais.
- Se $ \Delta < 0 $: raízes complexas conjugadas.
Isso afetará a forma da solução homogênea.
Passo 7
Assumindo que $ \Delta < 0 $ (o caso mais comum em sistemas amortecidos), as raízes serão complexas:
onde:
Passo 8
Nesse caso, a solução homogênea será:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 9
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p(t) $ para a equação completa. Como o lado direito é $ F_0 \sin(\omega t) $, vamos supor que a solução particular tenha a forma:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos determinar.
Passo 10
Derivando $ y_p(t) $:
Passo 11
Substituindo $ y_p(t) $ e suas derivadas na equação original:
Passo 12
Agrupando os termos senoidais e cossenoidais:
Passo 13
Para que essa igualdade seja válida para todo $ t $, os coeficientes de $ \sin(\omega t) $ e $ \cos(\omega t) $ devem ser iguais nos dois lados:
Passo 14
Agora, temos um sistema de equações lineares para $ A $ e $ B $:
- $ A (k - m \omega^2) - \lambda \omega B = F_0 $
- $ \lambda \omega A + B (k - m \omega^2) = 0 $
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ A $ e $ B $.
Passo 15
Resolvendo a segunda equação para $ B $:
Passo 16
Substituindo $ B $ na primeira equação:
Simplificando:
Passo 17
Fatorando $ A $:
Multiplicando ambos os lados por $ k - m \omega^2 $:
Passo 18
Isolando $ A $:
Passo 19
Agora, substituindo $ A $ de volta na expressão para $ B $:
Passo 20
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular: