Calcule o wronskiano das seguintes funções:
x, x sen x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente calcular o Wronskiano de duas funções:
y1(x)=xe y2(x)=xsin x
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais (ou análise de sistemas de funções), e o que a gente vai precisar é:
  1. saber o que é o Wronskiano;
  2. calcular derivadas simples;
  3. montar o determinante de 2×2 e simplificar.

Passo 2

O Wronskiano de duas funções W(y1,y2)(x) = y1(x) & y2(x)[6pt] y1'(x) & y2'(x) = y1(x),y2'(x)-y2(x),y1'(x) e é definido como
Então a estratégia é: calcular e , depois aplicar essa fórmula.

Passo 3

Calculemos as derivadas:
  1. y1'(x)=1 ⇒ pela regra básica,
y2'(x) =(x)',sin x + x,(sin x)' =1cdotsin x + xcdotcos x =sin x + xcos x
  1. ⇒ aqui usamos a regra do produto ( ):

Passo 4

Agora formamos o Wronskiano:
W(x) = xl(sin x + xcos xr) ;-;(xsin x)cdot1 = xsin x + x^2cos x - xsin x = x^2cos x

Resposta

boxedW(x)=x^2cos x

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