Calcule lim x +infty(1+3x)^2 x. Faça a mudança de variável x=3 u e use o que foi ensinado em sala de aula.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl(1+3xr)^2x
O conteúdo principal aqui é limite de forma indeterminada do tipo (1+tfrac1t)^t, que sabemos tender a e. Vamos usar a mudança de variável x=3u.

Passo 2

Fazendo x=3u, quando xto+infty também temos uto+infty. Substituindo:
1+3x =1+33u =1+1u,
e
2x=2cdot(3u)=6u
Logo
l(1+3xr)^2x =l(1+1ur)^6u

Passo 3

Relembrando que
limuto+inftyl(1+1ur)^u=e,
podemos reescrever
l(1+1ur)^6u =l[l(1+1ur)^ur]^6
Como o limite de um produto de potências é a potência do limite, temos
limuto+inftyl[l(1+1ur)^ur]^6 =l(limuto+infty(1+tfrac1u)^ur)^6 =e^6

Resposta

limxto+inftyl(1+3xr)^2x =e^6

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