Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral a fim de determinar se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo é o Teste da Integral para séries de termos positivos, que consiste em comparar a soma com a integral de uma função adequada.
Passo 2
Definimos a função
para
. Note que
, é contínua e estritamente decrescente em
, pois o denominador cresce com
. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
, então
ou
. Quando
,
; quando
,
. A integral vira
Como o valor da integral é finito, a integral converge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, se
converge, então a série
converge também. Portanto, a série dada é convergente.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.