Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn-1^infty 1(2 n+1)^3

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral a fim de determinar se a série
sumn=1^infty1(2n+1)^3
é convergente ou divergente. O conteúdo é o Teste da Integral para séries de termos positivos, que consiste em comparar a soma com a integral de uma função adequada.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=1(2x+1)^3
para x>=1. Note que f(x)>0, é contínua e estritamente decrescente em [1,infty), pois o denominador cresce com x. Logo, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^inftydx(2x+1)^3
Fazemos a substituição u=2x+1, então du=2,dx ou dx=tfracdu2. Quando x=1, u=3; quando xtoinfty, utoinfty. A integral vira
integral3^infty1u^3cdotdu2 =12integral3^inftyu^-3,du =12gl[u^-2-2gr]3^infty =-14l[ u^-2r]3^infty =14cdot13^2 =136
Como o valor da integral é finito, a integral converge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, se
integral1^inftyf(x),dx
converge, então a série
sumn=1^inftyf(n)
converge também. Portanto, a série dada é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty1(2n+1)^3 converge pelo Teste da Integral.

Exercícios relacionados