Calcule y^prime
(d) y=x^2-1raiz1+x^2

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a função y=x^2-1raiz1+x^2. O conteúdo envolvido é derivada de quociente, mas podemos usar regra do produto e regra da cadeia pra simplificar o cálculo.

Passo 2

Reescrevo y como produto pra ficar mais simples aplicar as regras:
y = (x^2-1),(1+x^2)^-tfrac12

Passo 3

Aplico a regra do produto: se u=x^2-1 e v=(1+x^2)^-1/2, então
y' = u',v + u,v' Calculo cada derivada:
  • u' = 2x
  • pra achar v', uso regra da cadeia em v=(1+x^2)^-1/2:
    v'= -tfrac12(1+x^2)^-3/2 cdot 2x = -x,(1+x^2)^-3/2.

Passo 4

Substituo em y':
y' = 2x,(1+x^2)^-1/2 + (x^2-1)l(-x,(1+x^2)^-3/2r)

Passo 5

Faço fator comum em $ (1+x{2}){-3/2} $ pra combinar termos:
(1+x^2)^-3/2
Então
2x,(1+x^2)^-1/2 = 2x,(1+x^2),(1+x^2)^-3/2

Passo 6

Simplifico o numerador:
2x(1+x^2) - x(x^2-1) = 2x + 2x^3 - x^3 + x = x^3 + 3x
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Passo 7

Agrupando tudo, a derivada fica:
y' = x^3 + 3x(1+x^2)^3/2 = x(x^2+3)(1+x^2)^3/2

Resposta

y' = x,(x^2+3)(1+x^2)^3/2

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