Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justifique sua resposta.
(a) ( ) Se
for derivável, então
(a) ( ) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão envolve cálculo de derivadas, um tópico da matemática que estuda como uma função muda à medida que sua entrada muda. Precisamos determinar se a afirmação dada é verdadeira ou falsa e justificar a resposta.
Passo 2
A afirmação diz: Se $ f $ for derivável, então
Vamos analisar isso usando a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.
Passo 3
A regra da cadeia afirma que se temos uma função composta $ f(g(x)) $, sua derivada é
No nosso caso, $ g(x) = \sqrt{x} $, então precisamos encontrar $ g’(x) $.
Passo 4
Calculando $ g’(x) $:
Então, de acordo com a regra da cadeia, a derivada de $ f(\sqrt{x}) $ é:
Passo 5
Comparando com a afirmação original:
Perceba que na expressão correta, temos $ f’(\sqrt{x}) $ e não $ f’(x) $. Ou seja, a derivada de $ f $ é avaliada em $ \sqrt{x} $, não em $ x $.
Passo 6
Portanto, a afirmação está incorreta porque substitui $ f’(\sqrt{x}) $ por $ f’(x) $. Isso altera o ponto onde a derivada é avaliada, tornando a igualdade falsa.
Resposta
Falsa. A derivada correta é $ \frac{f^{\prime}(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}} $, não $ \frac{f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x}} $.