Nos outros exercícios encontre a solução geral.
y^{\prime \prime}-2 y=\sin (t+c)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
y''-2y=\sin(t+c),
onde c é uma constante. Informação dada: trata-se de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo \sin(t+c). O objetivo é obter a solução geral y(t) (ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada. Considere a homogênea
y''-2y=0.
Método e motivo: para equações lineares com coeficientes constantes é usual tentar uma solução do tipo y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^2-2=0.
Resolver a equação característica:
r^2=2 \quad\Rightarrow\quad r=\pm\sqrt{2}.
Portanto as duas raízes são reais e distintas, e a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{\sqrt{2}\,t}+C_2 e^{-\sqrt{2}\,t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Procurar uma solução particular y_p da equação completa. Observação importante e escolha do método: o termo à direita é \sin(t+c). Uma forma direta e eficiente é tentar uma solução particular proporcional a esse mesmo seno deslocado, isto é
y_p(t)=K\sin(t+c),
com K constante a determinar. Justificativa simplificada: o operador diferencial é linear com coeficientes constantes, e \sin(t+c) tem frequência 1; como r=\pm i (raízes imag.) não aparecem na equação característica (aqui as raízes são \pm\sqrt{2}), não há ressonância e é válido tentar uma constante multiplicativa dessa função.

Passo 4

Calcular K substituindo y_p na equação. Primeiro derive duas vezes:
y_p(t)=K\sin(t+c)\quad\Rightarrow\quad y_p''(t)=-K\sin(t+c).
Substituindo em y''-2y:
y_p''-2y_p = -K\sin(t+c)-2K\sin(t+c) = -3K\sin(t+c).
Queremos que isso seja igual a \sin(t+c). Assim
-3K\sin(t+c)=\sin(t+c)\quad\Rightarrow\quad -3K=1.
Logo
K=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Escrever a solução particular encontrada:
y_p(t)=-\tfrac{1}{3}\sin(t+c).
Pode-se conferir rapidamente: y_p''=-\big(-\tfrac{1}{3}\sin(t+c)\big)=-y_p, então y_p''-2y_p=-y_p-2y_p=-3y_p=\sin(t+c), consistente.

Passo 6

Combinar solução homogênea e particular pela propriedade da linearidade (superposição). A solução geral da equação é
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 e^{\sqrt{2}\,t}+C_2 e^{-\sqrt{2}\,t}-\tfrac{1}{3}\sin(t+c),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_1 e^{\sqrt{2}\,t}+C_2 e^{-\sqrt{2}\,t}-\dfrac{1}{3}\sin(t+c)

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