Nos outros exercícios encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
onde
é uma constante. Informação dada: trata-se de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. O objetivo é obter a solução geral
(ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada. Considere a homogênea
Método e motivo: para equações lineares com coeficientes constantes é usual tentar uma solução do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Resolver a equação característica:
Portanto as duas raízes são reais e distintas, e a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Procurar uma solução particular
da equação completa. Observação importante e escolha do método: o termo à direita é
. Uma forma direta e eficiente é tentar uma solução particular proporcional a esse mesmo seno deslocado, isto é
com
constante a determinar. Justificativa simplificada: o operador diferencial é linear com coeficientes constantes, e
tem frequência
; como
(raízes imag.) não aparecem na equação característica (aqui as raízes são
), não há ressonância e é válido tentar uma constante multiplicativa dessa função.
Passo 4
Calcular
substituindo
na equação. Primeiro derive duas vezes:
Substituindo em
:
Queremos que isso seja igual a
. Assim
Logo
Passo 5
Escrever a solução particular encontrada:
Pode-se conferir rapidamente:
, então
, consistente.
Passo 6
Combinar solução homogênea e particular pela propriedade da linearidade (superposição). A solução geral da equação é
com
constantes arbitrárias.