Nos outros exercícios encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem não-homogênea:
O que temos de informação:
- A equação é linear com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - A solução geral deve conter a solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Explicando a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
, onde
é um número (possivelmente complexo). Substituindo na homogênea obtemos o polinômio característico em
.
Substituindo
em
dá
Como
, o polinômio característico é
Resolvendo:
Cada raiz simples
gera a solução
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a equação completa. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados (uma técnica padrão quando o termo for combinação de exponenciais, polinômios, seno e cosseno).
Regra prática: para uma força do tipo
tentamos um
do mesmo tipo, multiplicado por um polinômio em
caso haja ressonância (se
for raiz do polinômio característico). Aqui o termo é
, isto é
e
. As raízes da característica foram
e
, portanto
NÃO são raízes; não há ressonância. Assim podemos tentar
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar. (Explicando:
e
são coeficientes a ajustar para que
satisfaça a equação.)
Passo 4
Calculamos as derivadas de
com cuidado e agrupamos termos em
e
.
Começando por
Derivando (produto e derivada de seno/cosseno):
Derivando novamente:
Agora somamos
:
(Reescrevendo para simplificar fator comum
):
Observação: outra forma equivalente — que conduz ao mesmo sistema linear — seria não fatorizar, mas o resultado final é o mesmo.
Passo 5
Impondo que
Igualando coeficientes de
e
(pois as funções
e
são linearmente independentes) chega-se ao sistema:
Dividindo por
. Substituindo na primeira:
Então
(Observação: se preferir comparar com o cálculo anterior onde se obteve outro sistema, ambos são equivalentes e levam às mesmas soluções para
e
.)]
Passo 6
Com
e
a solução particular é
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias.