Nos outros exercícios encontre a solução geral.
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=e^{t} \cos (t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem não-homogênea:
y''+y' = e^{t}\cos t.
O que temos de informação:
  • A equação é linear com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é \,e^{t}\cos t\,.
  • A solução geral deve conter a solução da equação homogênea associada mais uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''+y'=0.
Explicando a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rt}, onde r é um número (possivelmente complexo). Substituindo na homogênea obtemos o polinômio característico em r.
Substituindo y=e^{rt} em y''+y'=0
r^{2}e^{rt}+r e^{rt}=0 \quad\Rightarrow\quad (r^{2}+r)e^{rt}=0.
Como e^{rt}\neq0, o polinômio característico é
r^{2}+r=0.
Resolvendo:
r(r+1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0,\; r=-1.
Cada raiz simples r gera a solução e^{rt}. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{0\cdot t}+C_{2}e^{-t}=C_{1}+C_{2}e^{-t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} para a equação completa. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados (uma técnica padrão quando o termo for combinação de exponenciais, polinômios, seno e cosseno).
Regra prática: para uma força do tipo \,e^{\alpha t}\big(P(t)\cos(bt)+Q(t)\sin(bt)\,) tentamos um y_{p} do mesmo tipo, multiplicado por um polinômio em t caso haja ressonância (se \alpha\pm ib for raiz do polinômio característico). Aqui o termo é \,e^{t}\cos t, isto é \alpha=1 e b=1. As raízes da característica foram 0 e -1, portanto 1\pm i NÃO são raízes; não há ressonância. Assim podemos tentar
y_{p}(t)=e^{t}\big(A\cos t + B\sin t\big),
onde A e B são constantes desconhecidas que vamos determinar. (Explicando: A e B são coeficientes a ajustar para que y_{p} satisfaça a equação.)

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} com cuidado e agrupamos termos em \cos t e \sin t.
Começando por
y_{p}(t)=e^{t}\big(A\cos t + B\sin t\big).
Derivando (produto e derivada de seno/cosseno):
\begin{aligned} y_{p}'(t) &= e^{t}\big(A\cos t + B\sin t\big) + e^{t}\big(-A\sin t + B\cos t\big) \\\ &= e^{t}\big((A+B)\cos t + (B-A)\sin t\big). \end{aligned}
Derivando novamente:
\begin{aligned} y_{p}''(t) &= e^{t}\big((A+B)\cos t + (B-A)\sin t\big) + e^{t}\big(-(A+B)\sin t + (B-A)\cos t\big) \\\ &= e^{t}\big(((A+B)+(B-A))\cos t + ((B-A)-(A+B))\sin t\big) \\\ &= e^{t}\big((A+3B)\cos t + (B-3A)\sin t\big). \end{aligned}
Agora somamos y_{p}''+y_{p}':
\begin{aligned} y_{p}''+y_{p}' &= e^{t}\big((A+3B)\cos t + (B-3A)\sin t\big) + e^{t}\big((A+B)\cos t + (B-A)\sin t\big) \\\ &= e^{t}\big((A+3B + A+B)\cos t + (B-3A + B-A)\sin t\big) \\\ &= e^{t}\big((2A+4B)\cos t + (2B-4A)\sin t\big). \end{aligned}
(Reescrevendo para simplificar fator comum 2):
y_{p}''+y_{p}' = 2e^{t}\big((A+2B)\cos t + (B-2A)\sin t\big).
Observação: outra forma equivalente — que conduz ao mesmo sistema linear — seria não fatorizar, mas o resultado final é o mesmo.

Passo 5

Impondo que y_{p}''+y_{p}'\) iguale o lado direito \(\,e^{t}\cos t\), obtemos a identidade \[2\big((A+2B)\cos t + (B-2A)\sin t\big) = 1\cdot\cos t + 0\cdot\sin t.
Igualando coeficientes de \cos t e \sin t (pois as funções \cos t e \sin t são linearmente independentes) chega-se ao sistema:
\begin{cases} 2(A+2B)=1,\\[4pt] 2(B-2A)=0. \end{cases}
Dividindo por 2\] para simplificar: \[\begin{cases} A+2B=\tfrac{1}{2},\\[4pt] B-2A=0. \end{cases}\] Da segunda equação \(B=2A. Substituindo na primeira:
A+2(2A)=A+4A=5A=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{10}.
Então B=2A=\tfrac{2}{10}=\tfrac{1}{5}.
(Observação: se preferir comparar com o cálculo anterior onde se obteve outro sistema, ambos são equivalentes e levam às mesmas soluções para A e B.)]

Passo 6

Com A=\tfrac{1}{10} e B=\tfrac{1}{5} a solução particular é
y_{p}(t)=e^{t}\Big(\tfrac{1}{10}\cos t + \tfrac{1}{5}\sin t\Big).
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t}+e^{t}\Big(\tfrac{1}{10}\cos t + \tfrac{1}{5}\sin t\Big),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}+C_{2}e^{-t}+e^{t}\Big(\tfrac{1}{10}\cos t + \tfrac{1}{5}\sin t\Big)

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