Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações relevantes fornecidas: a expressão do numerador é
e o denominador é
. Observação importante: a função está escrita com raiz no denominador, então ela está definida apenas para
(isto é onde a derivada fará sentido).
Passo 2
Primeiro simplifico a escrita usando potências para ficar mais fácil de diferenciar. Lembro que
. Logo posso reescrever
Esse formato mostra
como produto de duas funções de
, o que facilita o uso da regra do produto.
Passo 3
Vou usar a regra do produto. Ela diz que, para duas funções
e
,
Aqui
e
significam as derivadas de
e
em relação a
. A ideia é: derive uma, deixe a outra igual, e some com a outra derivada vezes a primeira função.
Passo 4
Escolho
Agora calculo
. Para isso uso a regra da cadeia: se
então
. No nosso caso
e
. Assim
e
. Portanto
Expliquei passo a passo: derive a potência exterior
que vira
, substitua
e multiplique pela derivada de
, que é
.
Passo 5
Agora calculo
. Aqui basta usar a regra da potência: se
então
. Com
temos
Passo 6
Aplico a regra do produto
. Substituindo
obtenho
Coloco os sinais bonitinhos:
Passo 7
Agora simplifico os expoentes e fatoro um fator comum para deixar a expressão mais limpa. Primeiro simplifico o primeiro termo:
logo o primeiro termo é
. Para fatorar observe que ambos os termos têm fator comum
. Dividindo cada termo por esse fator obtenho
Dentro dos colchetes faço a operação:
Substituindo de volta:
Passo 8
Escrevo a resposta numa forma bem usual (fração com potência no denominador):