Calcule y^{\prime}.
y=\frac{\left(x^{2}+5\right)^{2}}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada y' da função
y=\frac{\left(x^{2}+5\right)^{2}}{\sqrt{x}}.
Informações relevantes fornecidas: a expressão do numerador é \left(x^{2}+5\right)^{2} e o denominador é \sqrt{x}. Observação importante: a função está escrita com raiz no denominador, então ela está definida apenas para x>0 (isto é onde a derivada fará sentido).

Passo 2

Primeiro simplifico a escrita usando potências para ficar mais fácil de diferenciar. Lembro que \sqrt{x}=x^{1/2}. Logo posso reescrever
y=(x^{2}+5)^{2}\cdot x^{-1/2}.
Esse formato mostra y como produto de duas funções de x, o que facilita o uso da regra do produto.

Passo 3

Vou usar a regra do produto. Ela diz que, para duas funções u(x) e v(x),
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) e v'(x) significam as derivadas de u e v em relação a x. A ideia é: derive uma, deixe a outra igual, e some com a outra derivada vezes a primeira função.

Passo 4

Escolho
u(x)=(x^{2}+5)^{2},\qquad v(x)=x^{-1/2}.
Agora calculo u'(x). Para isso uso a regra da cadeia: se u(x)=f(g(x)) então u'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). No nosso caso f(t)=t^{2} e g(x)=x^{2}+5. Assim f'(t)=2t e g'(x)=2x. Portanto
u'(x)=2\big(x^{2}+5\big)\cdot(2x)=4x\big(x^{2}+5\big).
Expliquei passo a passo: derive a potência exterior t^{2} que vira 2t, substitua t=g(x) e multiplique pela derivada de g(x), que é 2x.

Passo 5

Agora calculo v'(x). Aqui basta usar a regra da potência: se v(x)=x^{n} então v'(x)=n x^{n-1}. Com n=-\tfrac{1}{2} temos
v'(x)=-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}.

Passo 6

Aplico a regra do produto y'=u'v+uv'. Substituindo u,u',v,v' obtenho
y' = 4x\big(x^{2}+5\big)\cdot x^{-1/2} + \big(x^{2}+5\big)^{2}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}x^{-3/2}\big).
Coloco os sinais bonitinhos:
y' = 4x\big(x^{2}+5\big)x^{-1/2} - \tfrac{1}{2}\big(x^{2}+5\big)^{2}x^{-3/2}.

Passo 7

Agora simplifico os expoentes e fatoro um fator comum para deixar a expressão mais limpa. Primeiro simplifico o primeiro termo:
4x\cdot x^{-1/2}=4x^{1-1/2}=4x^{1/2},
logo o primeiro termo é 4x^{1/2}\big(x^{2}+5\big). Para fatorar observe que ambos os termos têm fator comum \big(x^{2}+5\big)x^{-3/2}. Dividindo cada termo por esse fator obtenho
\begin{aligned} y' &= \big(x^{2}+5\big)x^{-3/2}\left[\,4x^{1/2}\big/ x^{-3/2}\;-\;\tfrac{1}{2}\big(x^{2}+5\big)\right]\\[4pt] &= \big(x^{2}+5\big)x^{-3/2}\left[\,4x^{1/2+3/2}\;-\;\tfrac{1}{2}\big(x^{2}+5\big)\right]\\[4pt] &= \big(x^{2}+5\big)x^{-3/2}\left[\,4x^{2}\;-\;\tfrac{1}{2}\big(x^{2}+5\big)\right]. \end{aligned}
Dentro dos colchetes faço a operação:
4x^{2}-\tfrac{1}{2}\big(x^{2}+5\big)=4x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{5}{2}=\tfrac{7}{2}x^{2}-\tfrac{5}{2}=\tfrac{1}{2}\big(7x^{2}-5\big).
Substituindo de volta:
y'=\big(x^{2}+5\big)x^{-3/2}\cdot\tfrac{1}{2}\big(7x^{2}-5\big).]

Passo 8

Escrevo a resposta numa forma bem usual (fração com potência no denominador):
y'=\frac{\big(7x^{2}-5\big)\big(x^{2}+5\big)}{2x^{3/2}}.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{\big(7x^{2}-5\big)\big(x^{2}+5\big)}{2x^{3/2}}

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