Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
\frac{d y}{d x}+y=y^{2}(\cos x-\sin x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+y=y^{2}(\cos x-\sin x).
Pergunta: encontrar as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para x em um intervalo apropriado.
Informações dadas importantes:
\text{equação: }\frac{dy}{dx}+y=y^{2}(\cos x-\sin x).çã
Não há condições iniciais fornecidas, então devemos obter a família geral de soluções (com constante arbitrária). Note que a equação é de primeira ordem e não é linear em y por causa do termo y^{2}.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicada de forma direta): a equação tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
com P(x)=1, Q(x)=\cos x-\sin x e n=2. Uma transformação padrão para esse tipo de equação é a substituição
z=y^{1-n}=y^{1-2}=y^{-1}=\frac{1}{y},
porque essa substituição transforma a equação não-linear em uma equação linear de primeira ordem em z. Vou usar essa ideia porque simplifica bastante a resolução (transforma em uma equação do tipo dz/dx + p(x) z = q(x)).

Passo 3

Relacionando z com y e obtendo a equação para z. Definimos
z=\frac{1}{y}.
Calculamos a derivada de z em função de y. Como z=y^{-1},
\frac{dz}{dx}=-1\cdot y^{-2}\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Agora dividimos a equação original por y^{2} (supondo momentaneamente y\neq 0) para expor o termo \frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}:
\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{y}=\cos x-\sin x.
Usando \frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}=-\frac{dz}{dx} e \frac{1}{y}=z, obtemos
-\,\frac{dz}{dx}+z=\cos x-\sin x.
Rearranjando para a forma padrão linear em z,
\frac{dz}{dx}-z=-\cos x+\sin x.

Passo 4

Resolver a equação linear obtida. A equação é
\frac{dz}{dx}-z=-\cos x+\sin x.
Escrevemos na forma \frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x) com p(x)=-1 e q(x)=-\cos x+\sin x. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicando toda a equação por \mu(x),
e^{-x}\frac{dz}{dx}-e^{-x}z=e^{-x}(-\cos x+\sin x).
O lado esquerdo é a derivada do produto \frac{d}{dx}\big(e^{-x}z\big). Portanto
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}z\big)=e^{-x}(-\cos x+\sin x).

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Temos
e^{-x}z=\int e^{-x}(-\cos x+\sin x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Vamos calcular a integral
I=\int e^{-x}(-\cos x+\sin x)\,dx=\int e^{-x}(\sin x-\cos x)\,dx.
Para computá-la podemos usar fórmulas conhecidas para integrais do tipo \int e^{ax}\cos(bx)\,dx e \int e^{ax}\sin(bx)\,dx. Com a=-1 e b=1 temos (estas fórmulas vêm de integração por partes repetida):
\int e^{-x}\cos x\,dx=e^{-x}\frac{-\cos x+\sin x}{2}+C_1,
\int e^{-x}\sin x\,dx=e^{-x}\frac{-(\sin x+\cos x)}{2}+C_2.
Usando essas duas expressões,
I=-\int e^{-x}\cos x\,dx+\int e^{-x}\sin x\,dx
\;=\; -e^{-x}\frac{-\cos x+\sin x}{2}+e^{-x}\frac{-(\sin x+\cos x)}{2}+C
\;=\; \frac{e^{-x}}{2}\big(\cos x-\sin x-(\sin x+\cos x)\big)+C
\;=\; \frac{e^{-x}}{2}\big(-2\sin x\big)+C
\;=\; -e^{-x}\sin x + C.
Portanto a integral vale I=-e^{-x}\sin x + C.

Passo 6

Voltar à expressão para z. Temos
e^{-x}z = -e^{-x}\sin x + C.
Multiplicando por e^{x},
z = -\sin x + C e^{x}.
Lembrando que z=\dfrac{1}{y}, obtemos
\frac{1}{y} = -\sin x + C e^{x}.
Isolando y,
y(x)=\frac{1}{C e^{x}-\sin x},
onde C é uma constante arbitrária real. Note que esse procedimento assumiu y\neq 0. Devemos verificar se y\equiv 0 é solução também.

Passo 7

Verificação da solução trivial y\equiv 0. Se y(x)\equiv 0 então \frac{dy}{dx}=0 e substituindo na equação original obtemos 0+0=0, logo y\equiv 0 também é solução. Essa solução não aparece na forma y=\dfrac{1}{C e^{x}-\sin x} (pois a expressão no denominador nunca torna o quociente zero), então devemos listá-la separadamente.

Resposta

y(x)=\frac{1}{C e^{x}-\sin x},\quad C\in\mathbb{R}
y(x)\equiv 0

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