Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Pergunta: encontrar as funções
que satisfazem essa igualdade para
em um intervalo apropriado.
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
Não há condições iniciais fornecidas, então devemos obter a família geral de soluções (com constante arbitrária). Note que a equação é de primeira ordem e não é linear em
por causa do termo
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicada de forma direta): a equação tem a forma
com
,
e
. Uma transformação padrão para esse tipo de equação é a substituição
porque essa substituição transforma a equação não-linear em uma equação linear de primeira ordem em
. Vou usar essa ideia porque simplifica bastante a resolução (transforma em uma equação do tipo
).
Passo 3
Relacionando
com
e obtendo a equação para
. Definimos
Calculamos a derivada de
em função de
. Como
,
Agora dividimos a equação original por
(supondo momentaneamente
) para expor o termo
:
Usando
e
, obtemos
Rearranjando para a forma padrão linear em
,
Passo 4
Resolver a equação linear obtida. A equação é
Escrevemos na forma
com
e
. O fator integrante
é
Multiplicando toda a equação por
,
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Portanto
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Temos
onde
é a constante de integração. Vamos calcular a integral
Para computá-la podemos usar fórmulas conhecidas para integrais do tipo
e
. Com
e
temos (estas fórmulas vêm de integração por partes repetida):
Usando essas duas expressões,
Portanto a integral vale
.
Passo 6
Voltar à expressão para
. Temos
Multiplicando por
,
Lembrando que
, obtemos
Isolando
,
onde
é uma constante arbitrária real. Note que esse procedimento assumiu
. Devemos verificar se
é solução também.
Passo 7
Verificação da solução trivial
. Se
então
e substituindo na equação original obtemos
, logo
também é solução. Essa solução não aparece na forma
(pois a expressão no denominador nunca torna o quociente zero), então devemos listá-la separadamente.