Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver a equação (achar
em função de
, i.e. a família geral de soluções).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A incógnita é
. - A equação é de primeira ordem e envolve
, e . - Não há condições iniciais, portanto devemos obter a solução geral (com constante arbitrária).
- Atenção: pode haver soluções constantes especiais (valores de
que tornam a equação satisfeita para todo ) — devemos checar isso.
Passo 2
Procurando soluções constantes: se
é constante então
. Substituindo na equação obtemos
Para que essa igualdade valha para todo
é preciso que
(pois
depende de
e, salvo
, não pode ser nulo para todos
). Logo as soluções constantes são os
tais que
Anotamos essas soluções singulares (elas podem ser perdidas se dividirmos por expressões nulas mais adiante), e agora procuramos a família geral não-constante.
Passo 3
Proponho a substituição
. Justificativa didática: aparece
na equação; ao derivarmos
em relação a
obtemos precisamente
, ou seja, podemos transformar a combinação
em
, o que costuma simplificar. Aplicando a substituição à equação original:
Da equação dada,
multiplicando por
e usando
obtemos
Como
, isso fica
Passo 4
Reescrevendo a equação obtida em forma clássica:
Isto é uma equação de Bernoulli do tipo
com
,
e
. A técnica padrão para Bernoulli é a substituição
Vamos derivar
. Como
,
Usamos a equação para
, isto é
. Substituindo:
Como
, obtemos a equação linear
Passo 5
Agora resolvemos a equação linear
pelo método do fator integrante. Primeiro colocamos na forma padrão
: aqui
,
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, então
Integramos ambos os lados em
:
Calculamos a integral por partes. Tomando
,
então
,
. Assim
Logo
onde absorvemos constantes em
. Multiplicando por
:
Passo 6
Voltamos às variáveis originais. Lembre que
e
. Assim
Isolando
,
Podemos também escrever a solução explicitando
:
quando o argumento da
estiver no intervalo
. Lembre-se de que
é a constante arbitrária real que determina a família de curvas.
Por fim, não esquecer as soluções constantes singulares encontradas no Passo 2:
(i.e.
,
), que não aparecem na expressão
porque aí haveria divisão por zero ao fazer a substituição
.