Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
\quad \sin y \frac{d y}{d x}=\cos y(1-x \cos y)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\sin y\,\frac{dy}{dx}=\cos y\bigl(1-x\cos y\bigr)
e pede para resolver a equação (achar y em função de x, i.e. a família geral de soluções).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A incógnita é y=y(x).
  • A equação é de primeira ordem e envolve \sin y, \cos y e x.
  • Não há condições iniciais, portanto devemos obter a solução geral (com constante arbitrária).
  • Atenção: pode haver soluções constantes especiais (valores de y que tornam a equação satisfeita para todo x) — devemos checar isso.

Passo 2

Procurando soluções constantes: se y é constante então \frac{dy}{dx}=0. Substituindo na equação obtemos
0=\cos y\bigl(1-x\cos y\bigr)\quad\text{para todo }x.
Para que essa igualdade valha para todo x é preciso que \cos y=0 (pois \,1-x\cos y depende de x e, salvo \cos y=0, não pode ser nulo para todos x). Logo as soluções constantes são os y tais que
\cos y=0,\quad\text{ou seja}\quad y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.
Anotamos essas soluções singulares (elas podem ser perdidas se dividirmos por expressões nulas mais adiante), e agora procuramos a família geral não-constante.

Passo 3

Proponho a substituição \;t=\cos y\;. Justificativa didática: aparece \sin y\,\frac{dy}{dx} na equação; ao derivarmos \cos y em relação a x obtemos precisamente \frac{dt}{dx}=\frac{d}{dx}(\cos y)=-\sin y\,\frac{dy}{dx}, ou seja, podemos transformar a combinação \sin y\,\frac{dy}{dx} em -\frac{dt}{dx}, o que costuma simplificar. Aplicando a substituição à equação original:
Da equação dada,
\sin y\,\frac{dy}{dx}=\cos y(1-x\cos y)
multiplicando por -1 e usando \frac{dt}{dx}=-\sin y\,\frac{dy}{dx} obtemos
\frac{dt}{dx}=-\cos y(1-x\cos y).
Como \cos y=t, isso fica
\frac{dt}{dx}=-t(1-xt)= -t + x t^2.

Passo 4

Reescrevendo a equação obtida em forma clássica:
\frac{dt}{dx}+t = x t^2.
Isto é uma equação de Bernoulli do tipo \frac{dt}{dx}+P(x)t=Q(x)t^n com P(x)=1, Q(x)=x e n=2. A técnica padrão para Bernoulli é a substituição
v=t^{1-n}=t^{1-2}=t^{-1}=\frac{1}{t}.
Vamos derivar v. Como v=1/t,
\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{t^2}\frac{dt}{dx}.
Usamos a equação para \frac{dt}{dx}, isto é \frac{dt}{dx}=-t+xt^2. Substituindo:
\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{t^2}\bigl(-t+xt^2\bigr)=\frac{1}{t}-x.
Como \frac{1}{t}=v, obtemos a equação linear
\frac{dv}{dx}-v = -x.

Passo 5

Agora resolvemos a equação linear \frac{dv}{dx}-v=-x pelo método do fator integrante. Primeiro colocamos na forma padrão \frac{dv}{dx}+a(x)v=b(x): aqui a(x)=-1, b(x)=-x. O fator integrante é
\mu(x)=e^{\int a(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicando a equação por \mu(x):
e^{-x}\frac{dv}{dx}-e^{-x}v = -x e^{-x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{-x}v, então
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}v\bigr) = -x e^{-x}.
Integramos ambos os lados em x:
e^{-x}v = \int -x e^{-x}\,dx + C.
Calculamos a integral por partes. Tomando u=-x, dw=e^{-x}dx então du=-dx, w=-e^{-x}. Assim
\int -x e^{-x}\,dx = (-x)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(-dx) = x e^{-x} - \int e^{-x}dx = x e^{-x} + e^{-x} + C_1.
Logo
e^{-x}v = e^{-x}(x+1) + C,
onde absorvemos constantes em C. Multiplicando por e^{x}:
v = x+1 + C e^{x}.

Passo 6

Voltamos às variáveis originais. Lembre que v=\dfrac{1}{t} e t=\cos y. Assim
\frac{1}{\cos y} = x+1 + C e^{x}.
Isolando \cos y,
\cos y = \frac{1}{x+1 + C e^{x}}.
Podemos também escrever a solução explicitando y:
y=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{x+1 + C e^{x}}\right),
quando o argumento da \operatorname{arccos} estiver no intervalo [-1,1]. Lembre-se de que C é a constante arbitrária real que determina a família de curvas.
Por fim, não esquecer as soluções constantes singulares encontradas no Passo 2: \cos y=0 (i.e. y=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}), que não aparecem na expressão \cos y = 1/(x+1+Ce^{x}) porque aí haveria divisão por zero ao fazer a substituição v=1/t.

Resposta

\displaystyle \cos y=\frac{1}{x+1+Ce^{x}},\; C\in\mathbb{R}.
\displaystyle y=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{x+1+Ce^{x}}\right) (quando o argumento estiver em [-1,1]).
\displaystyle y=\frac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z} (soluções constantes singulares).

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