Calcule y^{\prime} :
y=\frac{x^{2}-3}{x^{5}-2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada y' da função racional
y=\frac{x^{2}-3}{x^{5}-2x-3}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{2}-3.
  • Denominador: x^{5}-2x-3.
  • Pergunta: encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Método escolhido: usar a regra do quociente (porque a função é um quociente de duas funções diferenciáveis). A regra do quociente diz o seguinte:
\text{Se }y=\frac{u}{v},\quad\text{então}\quad y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.ã
Aqui vamos identificar u e v:
u(x)=x^{2}-3,\qquad v(x)=x^{5}-2x-3.
No passo seguinte calculo u' e v'.

Passo 3

Derivar u e v. Lembrete rápido da regra usada: a derivada de x^{n} é n x^{n-1} e a derivada de uma constante é 0.
Para u(x)=x^{2}-3:
u'(x)=2x.
Para v(x)=x^{5}-2x-3:
v'(x)=5x^{4}-2.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente com u,u',v,v' encontrados:
y'=\frac{(2x)(x^{5}-2x-3)-(x^{2}-3)(5x^{4}-2)}{(x^{5}-2x-3)^{2}}.

Passo 5

Agora vou expandir cuidadosamente os dois produtos do numerador. Primeiro o produto (2x)(x^{5}-2x-3):
(2x)(x^{5}-2x-3)=2x\cdot x^{5}-2x\cdot 2x-2x\cdot 3=2x^{6}-4x^{2}-6x.

Passo 6

Agora o segundo produto (x^{2}-3)(5x^{4}-2):
(x^{2}-3)(5x^{4}-2)=x^{2}\cdot 5x^{4}+x^{2}\cdot(-2)-3\cdot 5x^{4}-3\cdot(-2)
=5x^{6}-2x^{2}-15x^{4}+6.

Passo 7

Subtrair o segundo produto do primeiro (conforme a fórmula) e juntar termos semelhantes:
\text{numerador}= (2x^{6}-4x^{2}-6x)-(5x^{6}-2x^{2}-15x^{4}+6).
Calcule termo a termo:
2x^{6}-5x^{6}=-3x^{6},
\text{termo }x^{4}:\quad 0-(-15x^{4})=+15x^{4},
\text{termo }x^{2}:\quad -4x^{2}-(-2x^{2})=-2x^{2},
\text{termo }x:\quad -6x,
\text{constante}:\quad 0-6=-6.
Portanto o numerador simplificado é
-3x^{6}+15x^{4}-2x^{2}-6x-6.

Passo 8

Colocando o numerador simplificado sobre o quadrado do denominador, obtemos a derivada final. Podemos também fatorar um -1 no numerador para deixar o termo de maior grau positivo se preferir. Assim:
y'=\frac{-3x^{6}+15x^{4}-2x^{2}-6x-6}{(x^{5}-2x-3)^{2}} = -\frac{3x^{6}-15x^{4}+2x^{2}+6x+6}{(x^{5}-2x-3)^{2}}.
Observação prática: o domínio da derivada exclui pontos onde x^{5}-2x-3=0, pois ali o denominador original é zero (e o quadrado também).

Resposta

y'=-\frac{3x^{6}-15x^{4}+2x^{2}+6x+6}{(x^{5}-2x-3)^{2}}

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