Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função racional
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Pergunta: encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Método escolhido: usar a regra do quociente (porque a função é um quociente de duas funções diferenciáveis). A regra do quociente diz o seguinte:
Aqui vamos identificar
e
:
No passo seguinte calculo
e
.
Passo 3
Derivar
e
. Lembrete rápido da regra usada: a derivada de
é
e a derivada de uma constante é
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente com
encontrados:
Passo 5
Agora vou expandir cuidadosamente os dois produtos do numerador. Primeiro o produto
:
Passo 6
Agora o segundo produto
:
Passo 7
Subtrair o segundo produto do primeiro (conforme a fórmula) e juntar termos semelhantes:
Calcule termo a termo:
Portanto o numerador simplificado é
Passo 8
Colocando o numerador simplificado sobre o quadrado do denominador, obtemos a derivada final. Podemos também fatorar um
no numerador para deixar o termo de maior grau positivo se preferir. Assim:
Observação prática: o domínio da derivada exclui pontos onde
, pois ali o denominador original é zero (e o quadrado também).