Calcule
:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A expressão é uma fração complexa (uma fração dentro de outra).
- Devem ser observadas possíveis proibições de valores de
por causa de denominadores iguais a zero.
Passo 2
Vamos primeiro identificar os valores de
que tornam a função original indefinida (porque não podemos derivar num ponto onde a função não está definida). Há dois denominadores a considerar:
- O denominador interno
. Esse não pode ser zero, então devemos ter , isto é . - O denominador externo
. Esse também não pode ser zero. Resolvendo
temos
Portanto
. Conclusão: a função original está definida apenas para
tais que
e
. Em qualquer passo de derivação devemos lembrar dessa restrição.
Passo 3
É muito mais simples derivar depois de simplificar a fração complexa. Vamos transformar a parte do denominador em uma única fração:
Passo 4
Tomando o recíproco para obter
, obtemos:
Podemos reescrever essa função de forma ainda mais simples, separando termos:
Obs.: mesmo que a expressão simplificada pareça bem definida em
, lembrar que a expressão original não está definida em
, então esse ponto permanece excluído do domínio.
Passo 5
Agora vamos derivar a expressão simplificada
. Para isso usamos regras básicas de derivação:
- A derivada de uma constante é zero.
- A regra do múltiplo constante:
. - A regra da potência: para
, tem-se . Em particular, tem derivada .
Escrevendo
como
fica mais claro para aplicar a regra da potência.
Passo 6
Calculemos passo a passo a derivada:
A derivada de
é
. A derivada de
é
Portanto
Passo 7
Resumo sobre validade: a expressão para
que encontramos vale para os pontos onde a função original está definida, ou seja, para
tal que
e
. Nos pontos excluídos não existe
porque a própria
não está definida ali.