Calcule y^{\prime} :
y=\frac{1}{1+\frac{1}{2 x-1}}\'

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada y' da função dada. A função fornecida é
y=\frac{1}{1+\frac{1}{2x-1}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A expressão é uma fração complexa (uma fração dentro de outra).
  • Devem ser observadas possíveis proibições de valores de x por causa de denominadores iguais a zero.

Passo 2

Vamos primeiro identificar os valores de x que tornam a função original indefinida (porque não podemos derivar num ponto onde a função não está definida). Há dois denominadores a considerar:
  • O denominador interno 2x-1. Esse não pode ser zero, então devemos ter 2x-1 \neq 0, isto é x \neq \frac{1}{2}.
  • O denominador externo 1+\dfrac{1}{2x-1}. Esse também não pode ser zero. Resolvendo
1+\frac{1}{2x-1}=0
temos
\frac{1}{2x-1}=-1 \quad\Rightarrow\quad 1=-(2x-1)\quad\Rightarrow\quad 2x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto x\neq 0. Conclusão: a função original está definida apenas para x tais que x\neq 0 e x\neq \frac{1}{2}. Em qualquer passo de derivação devemos lembrar dessa restrição.

Passo 3

É muito mais simples derivar depois de simplificar a fração complexa. Vamos transformar a parte do denominador em uma única fração:
1+\frac{1}{2x-1}=\frac{2x-1}{2x-1}+\frac{1}{2x-1}=\frac{2x-1+1}{2x-1}=\frac{2x}{2x-1}.

Passo 4

Tomando o recíproco para obter y, obtemos:
y=\frac{1}{\dfrac{2x}{2x-1}}=\frac{2x-1}{2x}.
Podemos reescrever essa função de forma ainda mais simples, separando termos:
y=\frac{2x}{2x}-\frac{1}{2x}=1-\frac{1}{2x}.
Obs.: mesmo que a expressão simplificada pareça bem definida em x=\frac{1}{2}, lembrar que a expressão original não está definida em x=\frac{1}{2}, então esse ponto permanece excluído do domínio.

Passo 5

Agora vamos derivar a expressão simplificada y=1-\dfrac{1}{2x}. Para isso usamos regras básicas de derivação:
  • A derivada de uma constante é zero.
  • A regra do múltiplo constante: \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x).
  • A regra da potência: para f(x)=x^{n}, tem-se f'(x)=n x^{n-1}. Em particular, x^{-1} tem derivada -x^{-2}.
Escrevendo \dfrac{1}{2x} como \dfrac{1}{2}x^{-1} fica mais claro para aplicar a regra da potência.

Passo 6

Calculemos passo a passo a derivada:
y=1-\frac{1}{2x}=1-\frac{1}{2}x^{-1}.
A derivada de 1 é 0. A derivada de -\dfrac{1}{2}x^{-1} é
-\frac{1}{2}\cdot(-1)x^{-2}=\frac{1}{2}x^{-2}.
Portanto
y'=\frac{1}{2}x^{-2}=\frac{1}{2x^{2}}.

Passo 7

Resumo sobre validade: a expressão para y' que encontramos vale para os pontos onde a função original está definida, ou seja, para x tal que x\neq 0 e x\neq \frac{1}{2}. Nos pontos excluídos não existe y' porque a própria y não está definida ali.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{1}{2x^{2}}
\displaystyle x\neq 0,\;x\neq \frac{1}{2}

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