Calcule
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.\n
- Pede-se calcular
, a derivada de em relação a .\n - A função dada é
.\n
Não há outras informações adicionais no enunciado.
Passo 2
Escolher uma decomposição útil da expressão (escolhi duas funções cujo produto é
).\n
- Defino
.\n - Defino
.\n
Ambas as definições foram obtidas diretamente da expressãofornecida.
Passo 3
Apresentar a regra que vou usar e explicar por que ela vale (de forma bem simples).\n
- Se uma função
é o produto de duas funções e , então a derivada é dada por:
- Intuição simples: a variação de um produto vem da variação do primeiro mantendo o segundo fixo mais a variação do segundo mantendo o primeiro fixo.\n
Essa é a fórmula do “produto” e vamos aplicá-la com ase que escolhemos.
Passo 4
Calcular as derivadas simples que aparecem na fórmula (usar regra do poder e linearidade).\n
- Regra do poder (explicação curta): para
com inteiro positivo, tem-se . Ex.: , .\n - Regra da linearidade: a derivada de soma é soma das derivadas; a derivada de constante é zero; a derivada de constante vezes
é a constante.\n
Aplicando isso:
Passo 5
Aplicar a fórmula do produto e escrever a expressão inicial para
.\n
Substituindo ,
,
e
na fórmula
obtemos:
Substituindo
Passo 6
Fazer a multiplicação e simplificar termo a termo (não pulo etapas nas contas).\n
Multiplico cada parte:
Multiplico cada parte:
Agora somo os dois resultados termo a termo:
Passo 7
Agrupar termos semelhantes e escrever a forma final simplificada.\n
- Soma dos
: .\n - Termo em
: (único desse grau).\n - Soma dos
: .\n - Termo em
: .\n - Constante:
.\n
Portanto: