Calcule y^{\prime} :
y=\left(x^{2}-3\right)\left(x^{5}-2 x-3\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.\n
  • Pede-se calcular y^{\prime}, a derivada de y em relação a x.\n
  • A função dada é y=\left(x^{2}-3\right)\left(x^{5}-2 x-3\right).\n
    Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

Escolher uma decomposição útil da expressão (escolhi duas funções cujo produto é y).\n
  • Defino u(x)=x^{2}-3.\n
  • Defino v(x)=x^{5}-2x-3.\n
    Ambas as definições foram obtidas diretamente da expressão y fornecida.

Passo 3

Apresentar a regra que vou usar e explicar por que ela vale (de forma bem simples).\n
  • Se uma função y é o produto de duas funções u e v, então a derivada é dada por:
y = u\,v \quad\Rightarrow\quad y' = u'v + u v'.
  • Intuição simples: a variação de um produto vem da variação do primeiro mantendo o segundo fixo mais a variação do segundo mantendo o primeiro fixo.\n
    Essa é a fórmula do “produto” e vamos aplicá-la com as u e v que escolhemos.

Passo 4

Calcular as derivadas simples que aparecem na fórmula (usar regra do poder e linearidade).\n
  • Regra do poder (explicação curta): para w(x)=x^{n} com n inteiro positivo, tem-se w'(x)=n x^{n-1}. Ex.: (x^{5})' = 5x^{4}, (x^{2})' = 2x.\n
  • Regra da linearidade: a derivada de soma é soma das derivadas; a derivada de constante é zero; a derivada de constante vezes x é a constante.\n
    Aplicando isso:
u'(x) = (x^{2}-3)' = (x^{2})' - (3)' = 2x - 0 = 2x,
v'(x) = (x^{5}-2x-3)' = (x^{5})' - (2x)' - (3)' = 5x^{4} - 2 - 0 = 5x^{4}-2.

Passo 5

Aplicar a fórmula do produto e escrever a expressão inicial para y'.\n
Substituindo u, v, u' e v' na fórmula y' = u'v + u v' obtemos:
y' = 2x\left(x^{5}-2x-3\right) + \left(x^{2}-3\right)\left(5x^{4}-2\right).

Passo 6

Fazer a multiplicação e simplificar termo a termo (não pulo etapas nas contas).\n
Multiplico cada parte:
2x\left(x^{5}-2x-3\right) = 2x\cdot x^{5} - 2x\cdot 2x - 2x\cdot 3 = 2x^{6} - 4x^{2} - 6x,
\left(x^{2}-3\right)\left(5x^{4}-2\right) = x^{2}\cdot 5x^{4} - x^{2}\cdot 2 - 3\cdot 5x^{4} + 3\cdot 2 = 5x^{6} - 2x^{2} - 15x^{4} + 6.
Agora somo os dois resultados termo a termo:
y' = \bigl(2x^{6} - 4x^{2} - 6x\bigr) + \bigl(5x^{6} - 2x^{2} - 15x^{4} + 6\bigr).

Passo 7

Agrupar termos semelhantes e escrever a forma final simplificada.\n
  • Soma dos x^{6}: 2x^{6}+5x^{6}=7x^{6}.\n
  • Termo em x^{4}: -15x^{4} (único desse grau).\n
  • Soma dos x^{2}: -4x^{2}-2x^{2}=-6x^{2}.\n
  • Termo em x: -6x.\n
  • Constante: +6.\n
    Portanto:
y' = 7x^{6} - 15x^{4} - 6x^{2} - 6x + 6.

Resposta

y'=7x^{6}-15x^{4}-6x^{2}-6x+6

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