Calcule y^{\prime}.
y=\ln |\operatorname{cossec}(3 x) \operatorname{cotan}(3 x)|

Passo 1

O enunciado pede para calcular y^{\prime} quando
y=\ln\bigl|\operatorname{cossec}(3x)\operatorname{cotan}(3x)\bigr|.
Informações dadas: a função é o logaritmo natural do valor absoluto do produto \operatorname{cossec}(3x)\operatorname{cotan}(3x). A tarefa é encontrar a derivada de y em relação a x. Vou trabalhar com as funções trigonométricas na forma padrão \csc para cossecante e \cot para cotangente, mantendo tudo explícito passo a passo.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão dentro do logaritmo usando identidades trigonométricas e propriedades de logaritmo. Sabemos que
\operatorname{cossec}(3x)=\csc(3x)=\frac{1}{\sin(3x)} \quad\text{e}\quad \operatorname{cotan}(3x)=\cot(3x)=\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}.
Logo o produto é
\csc(3x)\cot(3x)=\frac{1}{\sin(3x)}\cdot\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}=\frac{\cos(3x)}{\sin^{2}(3x)}.
Aplicando as propriedades de logaritmo \ln|ab|=\ln|a|+\ln|b| e \ln|a^{k}|=k\ln|a|, obtemos
y=\ln\biggl|\frac{\cos(3x)}{\sin^{2}(3x)}\biggr| =\ln|\cos(3x)|-\ln|\sin^{2}(3x)| =\ln|\cos(3x)|-2\ln|\sin(3x)|.

Passo 3

Agora usamos a regra de derivação do logaritmo. A fórmula básica que vamos usar é
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)},
válida para u(x)\neq 0. Aqui u(x) pode ser \cos(3x) ou \sin(3x). Essa fórmula vem da regra da cadeia: primeiro derivamos \ln|u| em relação a u (o que dá 1/u) e depois multiplicamos por u'(x).

Passo 4

Derivamos o primeiro termo \ln|\cos(3x)|. Precisamos da derivada de \cos(3x). Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\cos(3x)=-\sin(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x)=-\sin(3x)\cdot 3=-3\sin(3x).
Aplicando \frac{u'}{u} com u(x)=\cos(3x):
\frac{d}{dx}\ln|\cos(3x)|=\frac{-3\sin(3x)}{\cos(3x)}=-3\tan(3x).
Expliquei: \tan(3x)=\dfrac{\sin(3x)}{\cos(3x)}.

Passo 5

Derivamos o segundo termo -2\ln|\sin(3x)|. Primeiro a derivada de \sin(3x) é, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\sin(3x)=\cos(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x)=\cos(3x)\cdot 3=3\cos(3x).
Logo
\frac{d}{dx}\ln|\sin(3x)|=\frac{3\cos(3x)}{\sin(3x)}=3\cot(3x).
Multiplicando pelo fator -2 que está no termo original:
\frac{d}{dx}\bigl(-2\ln|\sin(3x)|\bigr)=-2\cdot 3\cot(3x)=-6\cot(3x).

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos (porque a derivada de uma soma é a soma das derivadas), temos
y^{\prime}=-3\tan(3x)-6\cot(3x).
Podemos, se quisermos, fatorar -3:
y^{\prime}=-3\bigl(\tan(3x)+2\cot(3x)\bigr).

Resposta

y^{\prime}=-3\tan(3x)-6\cot(3x)

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