Informações dadas: a função é o logaritmo natural do valor absoluto do produto \operatorname{cossec}(3x)\operatorname{cotan}(3x). A tarefa é encontrar a derivada de y em relação a x. Vou trabalhar com as funções trigonométricas na forma padrão \csc para cossecante e \cot para cotangente, mantendo tudo explícito passo a passo.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão dentro do logaritmo usando identidades trigonométricas e propriedades de logaritmo. Sabemos que
Agora usamos a regra de derivação do logaritmo. A fórmula básica que vamos usar é
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)},
válida para u(x)\neq 0. Aqui u(x) pode ser \cos(3x) ou \sin(3x). Essa fórmula vem da regra da cadeia: primeiro derivamos \ln|u| em relação a u (o que dá 1/u) e depois multiplicamos por u'(x).
Passo 4
Derivamos o primeiro termo \ln|\cos(3x)|. Precisamos da derivada de \cos(3x). Pela regra da cadeia: